Решение: Ускорение груза в колебаниях
Груз на пружине совершает гармонические колебания перпендикулярно главной оптической оси собирающей линзы с оптической силой $5\ \text{дптр}$ (см. рисунок). С помощью этой линзы получено чёткое изображение груза на экране, находящемся на расстоянии $0{,}5\ \text{м}$ от линзы. Амплитуда колебаний изображения равна $0{,}1\ \text{м}$, максимальная скорость изображения равна $1\ \text{м/с}$. Определите максимальное ускорение груза, считая размеры груза пренебрежимо малыми по сравнению с фокусным расстоянием линзы.
Решение по шагам
5 шаговОптическая сила линзы связана с фокусным расстоянием соотношением $D=\dfrac{1}{f}$.
$$f=\dfrac{1}{D}=\dfrac{1}{5}=0{,}2\ \text{м}$$По условию расстояние от линзы до экрана равно расстоянию до изображения: $b=0{,}5\ \text{м}$. Из формулы тонкой линзы найдём расстояние от груза до линзы.
$$\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b},\qquad \dfrac{1}{a}=5-2=3,\qquad a=\dfrac{1}{3}\ \text{м}$$Модуль линейного увеличения линзы определяет отношение амплитуд колебаний изображения и груза.
$$|\Gamma|=\dfrac{b}{a}=\dfrac{0{,}5}{1/3}=1{,}5,\qquad A_\text{груза}=\dfrac{A_\text{изобр}}{|\Gamma|}=\dfrac{0{,}1}{1{,}5}=\dfrac{1}{15}\ \text{м}$$Для гармонических колебаний максимальная скорость изображения равна $v_{\max}=\omega A_\text{изобр}$, поэтому циклическая частота равна
$$\omega=\dfrac{v_{\max}}{A_\text{изобр}}=\dfrac{1}{0{,}1}=10\ \text{с}^{-1}$$Максимальное ускорение груза определяется формулой $a_{\max}=\omega^2A_\text{груза}$.
$$a_{\max}=10^2\cdot\dfrac{1}{15}=\dfrac{20}{3}\approx 6{,}7\ \text{м/с}^2$$$a_{\max}\approx 6{,}7\ \text{м/с}^2$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют амплитуду изображения вместо амплитуды колебаний груза.
Путают линейное увеличение с обратным отношением расстояний.
Находят ускорение по формуле $a_{\max}=\omega A$ вместо $a_{\max}=\omega^2A$.