Решение: Нагревание гелия в сосуде
Сосуд объёмом $V = 10\ \text{л}$ содержит $\nu = 0{,}5\ \text{моль}$ гелия при температуре $t = 17\ ^\circ\text{C}$. Если давление внутри сосуда превысит атмосферное в 9 раз, то сосуд лопнет. Найдите максимальное количество теплоты $Q$, которое можно сообщить гелию, чтобы сосуд не лопнул. Атмосферное давление $p_a = 10^5\ \text{Па}$.
Решение по шагам
5 шаговСосуд жёсткий, поэтому его объём постоянен. Предельное давление газа равно девятикратному атмосферному давлению:
$$p_2 = 9p_a = 9 \cdot 10^5\ \text{Па}$$Переведём начальную температуру в кельвины:
$$T_1 = t + 273 = 17 + 273 = 290\ \text{К}$$Из уравнения Менделеева–Клапейрона найдём предельную температуру газа:
$$p_2V = \nu RT_2,\qquad T_2 = \frac{p_2V}{\nu R} = \frac{9 \cdot 10^5 \cdot 10^{-2}}{0{,}5 \cdot 8{,}31} \approx 2166\ \text{К}$$Гелий является одноатомным идеальным газом. При постоянном объёме работа газа равна нулю, поэтому сообщённое тепло идёт на изменение внутренней энергии:
$$Q = \Delta U = \nu C_V(T_2 - T_1),\qquad C_V = \frac{3R}{2}$$Подставим значения:
$$Q = 0{,}5 \cdot \frac{3 \cdot 8{,}31}{2} \cdot (2166 - 290) \approx 1{,}17 \cdot 10^4\ \text{Дж}$$Максимальное количество теплоты: $Q \approx 1{,}2 \cdot 10^4\ \text{Дж}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют температуру в градусах Цельсия вместо температуры в кельвинах.
Берут теплоёмкость гелия как для двухатомного газа вместо $C_V = \frac{3R}{2}$.
Учитывают работу газа, хотя сосуд жёсткий и объём постоянен.
Принимают предельное давление равным $10p_a$, хотя условие означает, что давление достигает $9p_a$.