Решение: Максимальная температура для полёта шара
Воздушный шар объёмом $V = 2500\ \mathrm{м^3}$ с массой оболочки $m_о = 400\ \mathrm{кг}$ имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой до температуры $t_в = 77\, ^\circ\mathrm{C}$. Какой должна быть максимальная температура окружающего воздуха плотностью $\rho_н = 1{,}2\ \mathrm{кг/м^3}$, чтобы шар взлетел вместе с грузом (корзиной и воздухоплавателем) массой $m_г = 200\ \mathrm{кг}$? Оболочку шара считать нерастяжимой.
Решение по шагам
6 шаговВ момент начала подъёма сила Архимеда равна весу оболочки, груза и воздуха внутри шара:
$$\rho_н V g = (m_о + m_г + \rho_в V)g$$Выразим плотность нагретого воздуха:
$$\rho_в = \rho_н - \frac{m_о + m_г}{V}$$Подставим значения:
$$\rho_в = 1{,}2 - \frac{400 + 200}{2500} = 1{,}2 - 0{,}24 = 0{,}96\ \mathrm{кг/м^3}$$Давление воздуха внутри и снаружи шара практически одинаково. Поэтому для идеального газа плотность обратно пропорциональна абсолютной температуре:
$$\frac{\rho_в}{\rho_н} = \frac{T_н}{T_в}$$Температура воздуха внутри шара равна $T_в = 77 + 273 = 350\ \mathrm{К}$. Найдём абсолютную температуру окружающего воздуха:
$$T_н = T_в\frac{\rho_в}{\rho_н} = 350\cdot\frac{0{,}96}{1{,}2} = 280\ \mathrm{К}$$Переведём температуру окружающего воздуха в градусы Цельсия:
$$t_н = T_н - 273 = 280 - 273 = 7\, ^\circ\mathrm{C}$$Максимальная температура окружающего воздуха составляет примерно $7\, ^\circ\mathrm{C}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют температуру $77\, ^\circ\mathrm{C}$ непосредственно в формуле вместо абсолютной температуры.
Не учитывают массу воздуха внутри шара.
Приравнивают силу Архимеда только к весу оболочки и груза.