Решение: КПД цикла идеального газа
В тепловом двигателе $1$ моль идеального одноатомного газа совершает цикл $1\text{–}2\text{–}3\text{–}4\text{–}1$, показанный на графике в координатах $p$–$T$, где $p$ — давление газа, $T$ — абсолютная температура. Температуры в точках $2$ и $4$ равны и превышают температуру в точке $1$ в $3$ раза. Определите КПД цикла.
Решение по шагам
9 шаговПо графику участки $1\text{–}2$ и $3\text{–}4$ являются изохорными, так как соответствующие прямые на диаграмме $p$–$T$ проходят через начало координат. Участки $2\text{–}3$ и $4\text{–}1$ являются изобарными.
Обозначим температуру в точке $1$ через $T_1$. По условию $T_2=T_4=3T_1$. На участке $1\text{–}2$ объём постоянен, поэтому $p_2/p_1=T_2/T_1=3$. Так как участок $2\text{–}3$ изобарный, $p_3=p_2=3p_1$. На участке $3\text{–}4$ объём постоянен, поэтому $p_3/T_3=p_4/T_4$. С учётом $p_4=p_1$ получаем $T_3=9T_1$.
На участке $1\text{–}2$ газ получает количество теплоты при постоянном объёме:
$$Q_{12}=\nu C_V(T_2-T_1)=\frac{3R}{2}(3T_1-T_1)=3RT_1$$На участке $2\text{–}3$ газ получает тепло при постоянном давлении:
$$Q_{23}=\nu C_P(T_3-T_2)=\frac{5R}{2}(9T_1-3T_1)=15RT_1$$Общее количество подведённой теплоты равно:
$$Q_{\text{подв}}=Q_{12}+Q_{23}=18RT_1$$Работа совершается только на изобарных участках. На участке $2\text{–}3$:
$$A_{23}=\nu R(T_3-T_2)=R(9T_1-3T_1)=6RT_1$$На участке $4\text{–}1$ происходит сжатие газа:
$$A_{41}=\nu R(T_1-T_4)=R(T_1-3T_1)=-2RT_1$$Работа газа за цикл:
$$A_{\text{ц}}=A_{23}+A_{41}=6RT_1-2RT_1=4RT_1$$Коэффициент полезного действия теплового двигателя равен отношению работы за цикл к подведённому количеству теплоты:
$$\eta=\frac{A_{\text{ц}}}{Q_{\text{подв}}}=\frac{4RT_1}{18RT_1}=\frac{2}{9}$$$\eta=\dfrac{2}{9}\approx 0{,}222$, или примерно $22{,}2\%$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют изохорные участки на диаграмме $p$–$T$.
Учитывают в подведённом количестве теплоты тепло на участках, где газ охлаждается.
Используют $C_V$ вместо $C_P$ на изобарном участке $2\text{–}3$.
Забывают, что работа на участке сжатия $4\text{–}1$ отрицательна.