Решение: Температура начального состояния газа
Один моль одноатомного идеального газа переводят из состояния 1 в состояние 2 таким образом, что в ходе процесса давление газа возрастает прямо пропорционально его объёму. В результате плотность газа уменьшается в $\alpha = 2$ раза. Газ в ходе процесса получает количество теплоты $Q = 20\ \text{кДж}$. Какова температура газа в состоянии 1?
Решение по шагам
7 шаговТак как масса газа постоянна, его плотность обратно пропорциональна объёму. Плотность уменьшилась в $2$ раза, следовательно, объём увеличился в $2$ раза:
$$\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{V_2}{V_1}=2$$По условию давление прямо пропорционально объёму: $p = kV$. Из уравнения состояния одного моля идеального газа $pV = RT$ получаем $T = \frac{kV^2}{R}$. Поэтому:
$$\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2=4,\qquad T_2=4T_1$$Работа газа при процессе $p=kV$ равна площади под графиком зависимости давления от объёма:
$$A=\int_{V_1}^{V_2}kV\,dV=\frac{k}{2}(V_2^2-V_1^2)=\frac{R}{2}(T_2-T_1)$$Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии составляет:
$$\Delta U=\frac{3}{2}R(T_2-T_1)$$По первому закону термодинамики:
$$Q=\Delta U+A=\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right)R(T_2-T_1)=2R(T_2-T_1)$$С учётом соотношения $T_2=4T_1$:
$$Q=2R(4T_1-T_1)=6RT_1$$Подставим $Q=20\ \text{кДж}=20000\ \text{Дж}$ и $R\approx 8{,}31\ \text{Дж/(моль\cdot К)}$:
$$T_1=\frac{Q}{6R}=\frac{20000}{6\cdot 8{,}31}\approx 401\ \text{К}$$Температура газа в состоянии 1: $T_1 \approx 4{,}0\cdot 10^2\ \text{К}$, или примерно $401\ \text{К}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что при увеличении объёма в два раза температура увеличивается также в два раза, не учитывая зависимость $p \sim V$.
Использовать формулу работы $A=p\Delta V$, которая применима только при постоянном давлении.
Забыть перевести количество теплоты из килоджоулей в джоули.
Взять для одноатомного газа неверное выражение для изменения внутренней энергии.