Решение: КПД цикла идеального газа
На рисунке в координатах $p$–$V$ представлен циклический процесс, проводимый с идеальным одноатомным газом. Давление идеального одноатомного газа изохорно увеличивают в 4 раза, затем объём газа увеличивают в 2,5 раза так, что давление линейно зависит от объёма и возрастает в 2 раза. После этого газ возвращают в исходное состояние в процессе, в котором давление линейно зависит от объёма. Масса газа постоянна. Определите коэффициент полезного действия теплового двигателя, работающего по этому циклу.
График циклического процесса в координатах $p$–$V$. Саму картинку ещё готовим — у остальных задач темы она на месте.
Решение по шагам
10 шаговОбозначим параметры газа в состоянии 1 через $p_1$ и $V_1$. На участке $1\to2$ объём постоянен, а давление увеличивается в 4 раза:
$$V_2=V_1,\qquad p_2=4p_1$$На участке $2\to3$ объём увеличивается в 2,5 раза, а давление возрастает в 2 раза:
$$V_3=2{,}5V_1,\qquad p_3=2p_2=8p_1$$Работа на участке $1\to2$ равна нулю, поскольку объём постоянен:
$$A_{12}=0$$На участке $2\to3$ давление линейно зависит от объёма, поэтому работа равна площади трапеции под графиком:
$$A_{23}=\frac{p_2+p_3}{2}(V_3-V_2)=\frac{4p_1+8p_1}{2}\cdot1{,}5V_1=9p_1V_1$$На участке $3\to1$ работа также равна площади трапеции, но при сжатии она отрицательна:
$$A_{31}=\frac{p_3+p_1}{2}(V_1-V_3)=\frac{8p_1+p_1}{2}\cdot(-1{,}5V_1)=-\frac{27}{4}p_1V_1$$Работа газа за цикл:
$$A_{\text{ц}}=A_{12}+A_{23}+A_{31}=\frac{9}{4}p_1V_1$$Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа определяется формулой $\Delta U=\frac{3}{2}\Delta(pV)$. На участке $1\to2$ газ получает тепло:
$$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\frac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_1)=\frac{9}{2}p_1V_1$$На участке $2\to3$ внутренняя энергия возрастает, и газ получает тепло:
$$Q_{23}=\frac{3}{2}(p_3V_3-p_2V_2)+A_{23}=\frac{3}{2}(20-4)p_1V_1+9p_1V_1=33p_1V_1$$Теплота подводится на участках $1\to2$ и $2\to3$, поэтому:
$$Q_{\text{подв}}=Q_{12}+Q_{23}=\frac{75}{2}p_1V_1$$Коэффициент полезного действия теплового двигателя равен отношению работы за цикл к подведённому количеству теплоты:
$$\eta=\frac{A_{\text{ц}}}{Q_{\text{подв}}}=\frac{\frac{9}{4}p_1V_1}{\frac{75}{2}p_1V_1}=\frac{3}{50}=0{,}06$$\eta=\frac{3}{50}=0{,}06\approx6\%
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Использование площади под графиком без учёта знака работы на участке сжатия.
Неверное определение давления в состоянии 3: $p_3=8p_1$, а не $2p_1$.
Включение отрицательной теплоты на участке $3\to1$ в количество подведённой теплоты.
Использование формулы для внутренней энергии, не учитывающей одноатомность газа.