Решение: Количество теплоты за цикл
Над одноатомным идеальным газом проводится циклический процесс, показанный на рисунке. На участке 1–2 газ совершает работу $A_{12}=1000\ \text{Дж}$. На адиабате 3–1 внешние силы сжимают газ, совершая работу $|A_{31}|=370\ \text{Дж}$. Количество вещества газа в ходе процесса не меняется. Найдите количество теплоты $|Q_{\text{хол}}|$, отданное газом за цикл холодильнику.
pV-диаграмма циклического процесса. Саму картинку ещё готовим — у остальных задач темы она на месте.
Решение по шагам
7 шаговДля циклического процесса изменение внутренней энергии газа равно нулю. Работа газа на участке 2–3 равна нулю, так как процесс изохорный. На участке 3–1 газ сжимается, поэтому работа газа отрицательна:
$$A_{31}=-370\ \text{Дж}$$Участок 1–2 изображён прямой линией. Из диаграммы $p_1=p_0$, $V_1=V_0$, $p_2=2p_0$, $V_2=2V_0$. Поэтому работа газа равна площади трапеции:
$$A_{12}=\frac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1)=\frac{3}{2}p_0V_0=1000\ \text{Дж}$$Отсюда:
$$p_0V_0=\frac{2000}{3}\ \text{Дж}$$Для адиабатического процесса одноатомного газа показатель адиабаты равен $\gamma=5/3$. Так как участок 3–1 соединяет состояния $(2V_0,p_3)$ и $(V_0,p_0)$, имеем:
$$p_3(2V_0)^{5/3}=p_0V_0^{5/3},\qquad p_3=\frac{p_0}{2^{5/3}}$$С помощью уравнения состояния найдём температуры состояний 2 и 3 относительно температуры $T_1$:
$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{p_2V_2}{p_1V_1}=4,\qquad \frac{T_3}{T_1}=\frac{p_3V_3}{p_1V_1}=2^{-2/3}$$На участке 2–3 работа равна нулю, поэтому количество теплоты равно изменению внутренней энергии. Газ охлаждается, следовательно, отдаёт теплоту:
$$Q_{23}=\Delta U_{23}=\frac{3}{2}nR(T_3-T_2)=\frac{3}{2}p_0V_0\left(2^{-2/3}-4\right)$$Подставим значение $p_0V_0$ и найдём модуль отданного количества теплоты:
$$|Q_{\text{хол}}|=\frac{3}{2}\cdot\frac{2000}{3}\left(4-2^{-2/3}\right)\approx3370\ \text{Дж}$$Количество теплоты, отданное газом холодильнику за цикл: $|Q_{\text{хол}}|\approx3{,}37\cdot10^3\ \text{Дж}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считают работу на участке 2–3 ненулевой, хотя этот участок изохорный.
Используют неверное соотношение температур, не учитывая, что $p_2=2p_0$ и $V_2=2V_0$.
Забывают, что на адиабате $Q_{31}=0$.
Путают работу газа с работой внешних сил на участке 3–1 и записывают $A_{31}=+370\ \text{Дж}$.
Не берут модуль отрицательного количества теплоты на участке 2–3.