Решение: Теплота при зарядке конденсатора
Незаряженный конденсатор ёмкостью $C = 0{,}1\ \text{мкФ}$ подключают к источнику тока по схеме, показанной на рисунке. Сопротивление резистора $R = 500\ \text{Ом}$, сопротивлением проводов и внутренним сопротивлением источника тока можно пренебречь. Какова ЭДС $\mathcal{E}$ источника тока, если на резисторе после замыкания ключа $K$ в процессе зарядки конденсатора выделяется количество теплоты $Q = 7{,}2\ \text{мкДж}$?
Решение по шагам
4 шагаПри зарядке конденсатора ток в цепи изменяется со временем по закону $I(t) = \dfrac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/(RC)}$. Количество теплоты, выделившееся на резисторе, равно интегралу $Q = \int_0^\infty I^2R\,dt$.
$$Q = \int_0^\infty \left(\frac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/(RC)}\right)^2R\,dt$$Вычисляя интеграл, получаем формулу для теплоты, выделившейся на резисторе при полной зарядке конденсатора:
$$Q = \frac{\mathcal{E}^2}{R}\cdot\frac{RC}{2} = \frac{C\mathcal{E}^2}{2}$$Переведём данные в единицы СИ: $C = 0{,}1\ \text{мкФ} = 1{,}0\cdot10^{-7}\ \text{Ф}$, $Q = 7{,}2\ \text{мкДж} = 7{,}2\cdot10^{-6}\ \text{Дж}$.
Найдём ЭДС источника:
$$\mathcal{E} = \sqrt{\frac{2Q}{C}} = \sqrt{\frac{2\cdot7{,}2\cdot10^{-6}}{1{,}0\cdot10^{-7}}} = \sqrt{144} = 12\ \text{В}$$ЭДС источника тока равна $12\ \text{В}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют энергию конденсатора $\frac{C\mathcal{E}^2}{2}$ без объяснения, почему она равна теплоте на резисторе.
Не переводят микрофарады и микроджоули в единицы СИ.
Ошибочно считают, что сопротивление резистора влияет на итоговое количество теплоты; оно влияет только на длительность процесса зарядки.