Шешімі: Высота призмы и середина ребра
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ с углом $60^\circ$ при вершине $A$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $1$ и $2$.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$. б) Найдите высоту призмы, если её объём равен $5$ и точка $K$ делит ребро $B_1C_1$ в отношении $B_1K:KC_1=2:3$.
Шешім по шагам
8 қадамОбозначим $AB=a$, $AD=b$, а долю, в которой точка $M$ делит ребро $A_1B_1$, через $t$, то есть $A_1M=t\cdot A_1B_1$. Поскольку $B_1K:KC_1=2:3$, имеем $B_1K=\frac{2}{5}B_1C_1$.
Векторы, задающие отрезки $MK$ и $AN$, имеют вид $\overrightarrow{MK}=(1-t)\overrightarrow{AB}+\frac25\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{AD}$, где $u=\frac{BN}{BC}$. Так как $MK\parallel AN$, коэффициент пропорциональности равен $1-t$, а $\frac25=(1-t)u$.
Основания трапеции равны $1$ и $2$. Поэтому $|MK|:|AN|=1:2$, откуда $1-t=\frac12$. Следовательно, $t=\frac12$, то есть $M$ — середина ребра $A_1B_1$. Кроме того, $u=\frac45$.
Так как трапеция равнобедренная, её боковые стороны равны: $AM=KN$. Введём взаимно перпендикулярные направления высоты призмы и плоскости основания. Тогда $AM^2=h^2+\frac14a^2$, а $KN^2=h^2+\left(\frac25-\frac45\right)^2b^2=h^2+\frac{9}{25}b^2$.
Из равенства боковых сторон получаем $\frac14a^2=\frac{9}{25}b^2$, поэтому $a:b=6:5$.
Из условия $|AN|=2$ и угла $DAB=60^\circ$: $a^2+\left(\frac45b\right)^2+2a\cdot\frac45b\cos60^\circ=4$. Подставляя $a=\frac65b$, получаем $\frac{48}{25}b^2=4$, откуда $b=\frac{5}{2\sqrt3}$ и $a=\sqrt3$.
Площадь основания равна $S_{осн}=ab\sin60^\circ=\sqrt3\cdot\frac{5}{2\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{4}$.
Объём прямой призмы равен $V=S_{осн}h$. Поэтому $h=\frac{5}{5\sqrt3/4}=\frac{4}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{3}$.
а) $M$ — середина ребра $A_1B_1$. б) Высота призмы равна $\dfrac{4\sqrt3}{3}$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Қате выбранные основания трапеции: основаниями являются $MK$ и $AN$.
Использование отношения $B_1K:KC_1=2:3$ как доли $\frac{3}{5}$ вместо $\frac{2}{5}$.
Забывают, что высота прямой призмы перпендикулярна плоскости основания.
Ошибочное вычисление площади параллелограмма: нужно умножить произведение его сторон на $\sin60^\circ$.