Шешімі: Оптимальный срок продажи бумаг
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1; 2; \ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 25%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?
Шешім по шагам
5 қадамЕсли ценные бумаги продать в конце года $t$, то на счёт будет внесено $t^2$ тыс. рублей. До конца двадцатого года деньги будут находиться на счёте $20-t$ лет.
$$S_t=t^2\cdot 1{,}25^{20-t}$$Сравним соседние значения суммы.
$$\frac{S_{t+1}}{S_t}=\frac{(t+1)^2\cdot 1{,}25^{19-t}}{t^2\cdot 1{,}25^{20-t}}=\frac{(t+1)^2}{1{,}25t^2}$$Сумма возрастает, если отношение соседних членов больше единицы:
$$\frac{(t+1)^2}{1{,}25t^2}>1\iff \left(1+\frac1t\right)^2>1{,}25$$Для натуральных $t$ это неравенство выполняется при $t\leq 8$, поскольку при $t=8$ отношение равно $\frac{(9/8)^2}{1{,}25}=1{,}0125>1$, а при $t=9$ отношение равно $\frac{(10/9)^2}{1{,}25}<1$.
$$\frac{S_9}{S_8}>1,\qquad \frac{S_{10}}{S_9}<1$$Следовательно, последовательность сумм возрастает до $S_9$, а начиная с $S_{10}$ убывает. Максимальная сумма достигается при $t=9$.
$$t=9$$Следует продать ценные бумаги в конце девятого жылы.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают начисление процентов за 20, а не за $20-t$ лет.
Сравнивают только стоимость бумаг $t^2$, не учитывая банковские проценты.
Проверяют только несколько значений $t$ без обоснования максимальности.
Ошибочно считают, что при продаже в конце двадцатого года проценты начисляются ещё один раз.