Шешімі: Объём пирамиды в правильной призме
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно. Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны. Найдите объём пирамиды $MABF$, если $AB=12$, а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $30^\circ$.
Шешім по шагам
8 қадамРассмотрим треугольник $SAD$. Точки $M$ и $K$ — середины его сторон $SA$ и $SD$, поэтому по теореме о средней линии треугольника $MK\parallel AD$.
В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Следовательно, из $MK\parallel AD$ и $AD\parallel BC$ получаем $MK\parallel BC$.
Пусть $O$ — центр основания, а $N$ — середина стороны $BC$. В правильном шестиугольнике с длиной стороны $12$ радиус описанной окружности равен $12$, поэтому апофема $ON=6\sqrt3$.
Поскольку $M$ — середина бокового ребра $SA$, его высота над плоскостью основания равна $h/2$, где $h$ — высота исходной пирамиды. В сечении, перпендикулярном $BC$, угол между плоскостями $BMC$ и основанием равен $30^\circ$, поэтому
$$\tan 30^\circ=\frac{h/2}{ON}=\frac{h/2}{6\sqrt3}$$Так как $\tan30^\circ=\dfrac1{\sqrt3}$, получаем $h=12$. Следовательно, расстояние от точки $M$ до плоскости основания равно $6$.
Основанием пирамиды $MABF$ можно считать треугольник $ABF$. В правильном шестиугольнике угол $ABF$ равен $120^\circ$, а $AB=BF=12$, поэтому
$$S_{ABF}=\frac12\cdot12\cdot12\cdot\sin120^\circ=36\sqrt3$$Плоскость $ABF$ совпадает с плоскостью основания исходной пирамиды, поскольку точки $A$, $B$ и $F$ лежат в основании. Высота пирамиды $MABF$ равна расстоянию от $M$ до основания, то есть $6$.
Вычисляем объём пирамиды $MABF$:
$$V_{MABF}=\frac13 S_{ABF}\cdot h_M=\frac13\cdot36\sqrt3\cdot6=72\sqrt3$$Объём пирамиды $MABF$ равен $72\sqrt3$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать высотой пирамиды $MABF$ высоту исходной пирамиды $SABCDEF$, хотя $M$ — середина ребра $SA$.
Использовать площадь правильного шестиугольника вместо площади треугольника $ABF$.
Не обосновать, что плоскость $ABF$ совпадает с плоскостью основания исходной пирамиды.
Неверно применить теорему о средней линии и сделать вывод о параллельности $MK$ и $BC$ без промежуточного шага $MK\parallel AD$.