Решение: Цилиндр и угол между прямыми
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $CC_1 = 2$. Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^\circ$. Найдите объём цилиндра.
Решение по шагам
8 шаговТак как $AC$ — диаметр окружности, по теореме Фалеса $\angle ABC = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ известны $\angle ACB=30^\circ$ и $AB=\sqrt{2}$.
$$\sin 30^\circ=\frac{AB}{AC}$$Найдём диаметр основания и радиус цилиндра:
$$AC=\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}=2\sqrt{2},\qquad R=\frac{AC}{2}=\sqrt{2}$$Вычислим длину стороны $BC$:
$$BC=AC\cos 30^\circ=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}$$Рассмотрим координаты: $C=(0,0,0)$, $A=(2\sqrt{2},0,0)$, $C_1=(0,0,2)$. Так как $BC=\sqrt{6}$ и угол между $CA$ и $CB$ равен $30^\circ$, можно взять $B=\left(\frac{3}{\sqrt{2}},\sqrt{\frac{3}{2}},0\right)$.
$$\vec{AC_1}=(-2\sqrt{2},0,2),\qquad \vec{BC}=\left(-\frac{3}{\sqrt{2}},-\sqrt{\frac{3}{2}},0\right)$$Найдём скалярное произведение и длины направляющих векторов:
$$\vec{AC_1}\cdot\vec{BC}=6,\qquad |\vec{AC_1}|=2\sqrt{3},\qquad |\vec{BC}|=\sqrt{6}$$Косинус угла между прямыми равен:
$$\cos\varphi=\frac{|\vec{AC_1}\cdot\vec{BC}|}{|\vec{AC_1}|\,|\vec{BC}|}=\frac{6}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$Следовательно, угол между прямыми равен $45^\circ$.
$$\varphi=45^\circ$$Высота цилиндра равна длине образующей: $h=CC_1=2$. Объём цилиндра вычисляется по формуле $V=\pi R^2h$.
$$V=\pi(\sqrt{2})^2\cdot2=4\pi$$Угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^\circ$, объём цилиндра равен $4\pi$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не используют теорему Фалеса и ошибочно считают треугольник $ABC$ непрямоугольным.
Путают радиус основания с диаметром: $R=\frac{AC}{2}=\sqrt{2}$.
При вычислении угла между прямыми забывают взять модуль скалярного произведения.
В формуле объёма используют длину диаметра вместо радиуса.