Шешімі: Трапеция и вписанная окружность
Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Окружность с диаметром $AD$ пересекает боковую сторону $CD$ в точке $M$, а окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ в точке $N$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что в четырёхугольник $ABCP$ можно вписать окружность.
б) Найдите радиус этой окружности, если $BC=7$, $AD=17$.
Шешім по шагам
7 қадамПоскольку трапеция равнобедренная, её основания можно расположить симметрично относительно оси ординат: $A\left(-\dfrac{17}{2},0\right)$, $D\left(\dfrac{17}{2},0\right)$, $B\left(-\dfrac{7}{2},h\right)$, $C\left(\dfrac{7}{2},h\right)$.
Направляющие векторы диагоналей можно взять в виде $(12,h)$ и $(12,-h)$. Их скалярное произведение равно $144-h^2$. Из перпендикулярности диагоналей получаем $h=12$.
Следовательно, $B\left(-\dfrac{7}{2},12\right)$ и $C\left(\dfrac{7}{2},12\right)$.
Окружность с диаметром $CD$ имеет центр $(6,6)$ и радиус $\sqrt{61}$. При $y=0$ её уравнение даёт $(x-6)^2+36=61$, поэтому точки пересечения с прямой $AD$ имеют абсциссы $x=1$ и $x=11$.
Таким образом, условие не задаёт единственную точку $N$. Более того, проверка обоих вариантов показывает, что для получающихся точек $P$ не выполняется необходимое и достаточное условие существования вписанной окружности в выпуклый четырёхугольник: $AB+CP=BC+PA$.
Например, при $N=(1,0)$ численно получаются $PA\approx10{,}68$ и $PC\approx10{,}52$, поэтому $PA+BC\approx17{,}68$, тогда как $AB+PC\approx23{,}52$.
Следовательно, в приведённой формулировке пункт а) неверен, а радиус окружности из пункта б) однозначно определить нельзя. Вероятно, в условии пропущено дополнительное уточнение о выборе точки $N$ либо допущена опечатка в обозначении одной из окружностей или точек.
В приведённой формулировке задача некорректна: точка $N$ выбирается неоднозначно, и ни при $N=(1,0)$, ни при $N=(11,0)$ в четырёхугольник $ABCP$ нельзя вписать окружность.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что окружность с диаметром $CD$ пересекает основание $AD$ только в одной точке.
Не проверять условие касательного четырёхугольника $AB+CP=BC+PA$.
Использовать только один из двух нұсқа точки $N$ без обоснования выбора.