Шешімі: Числа и средние значения
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?
в) Пусть $B$ — шестое по величине число, а $S$ — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S-B$.
Шешімін қадамдап көрсету
7 қадамОбозначим числа в порядке возрастания: $x_1<x_2<\dots<x_{11}$. Из условий получаем суммы шести наименьших и шести наибольших чисел:
$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=6\cdot5=30,\quad x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}+x_{11}=6\cdot15=90$$а) Если бы наименьшее число равнялось 3, то шесть различных натуральных чисел были бы не меньше чем $3,4,5,6,7,8$. Их сумма не меньше 33, что противоречит сумме 30. Значит, наименьшее число не может равняться 3.
б) Сумма всех одиннадцати чисел равна сумме двух полученных сумм минус $x_6$, поскольку $x_6$ учтено дважды:
$$x_1+\dots+x_{11}=30+90-x_6=120-x_6$$Если среднее арифметическое всех чисел равно 9, то их сумма равна 99. Следовательно, $120-x_6=99$, откуда $x_6=21$. Но тогда первые пять чисел — различные натуральные числа, меньшие 21, с суммой $30-21=9$. Их минимально возможная сумма равна $1+2+3+4+5=15$, что невозможно. Поэтому среднее арифметическое всех чисел не может равняться 9.
в) Обозначим $B=x_6$. Так как первые пять чисел — различные натуральные числа, меньшие $B$, то $B\geq6$. Кроме того, при фиксированном $B$ сумма всех чисел равна $120-B$, поэтому
$$S-B=\frac{120-B}{11}-B=\frac{120-12B}{11}$$Это выражение убывает при увеличении $B$, поэтому достаточно проверить возможность $B=6$. Возьмём первые шесть чисел $1,2,3,4,5,6$, а последние пять чисел $7,8,9,10,50$. Тогда сумма первых шести равна 30, сумма шести наибольших равна $6+7+8+9+10+50=90$, все числа различны.
Следовательно, $B=6$ достижимо и даёт наибольшее значение:
$$S-B=\frac{120-12\cdot6}{11}=\frac{48}{11}$$а) Нет. б) Нет. в) Наибольшее значение равно $\dfrac{48}{11}$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что шестое число $x_6$ входит одновременно в сумму шести наименьших и в сумму шести наибольших.
Пытаются максимизировать $B$, хотя выражение $S-B$ убывает при увеличении $B$.
Не доказывают достижимость найденного значения, а приводят только оценку.