Решение: Карточки и делимость
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные числа, делящиеся на 3 (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-45$.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно утроенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек?
б) Может ли на столе лежать ровно 100 красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?
Решение по шагам
7 шаговПусть $b$ — количество синих карточек, а $r$ — количество красных карточек. По условию наибольшее число на синей карточке равно $r$, поэтому $r$ — положительное число, кратное 5. Наибольшее число на красной карточке равно $3b$.
Числа, кратные 3 и большие $-45$, начиная с $-42$ и заканчивая $3b$, образуют последовательность из $b+15$ чисел. Поэтому для размещения $r$ различных чисел на красных карточках необходимо $r\leq b+15$.
Числа, кратные 5 и большие $-45$, начиная с $-40$ и заканчивая $r$, образуют последовательность из $\dfrac{r}{5}+9$ чисел. Поэтому для размещения $b$ различных чисел на синих карточках необходимо $b\leq \dfrac{r}{5}+9$.
Для пункта а) возьмём $r=5$ и, например, $b=1$. На синей карточке можно записать число $5$, а на пяти красных карточках — любые пять различных чисел, кратных 3, больших $-45$ и не превосходящих $3$. Следовательно, пять красных карточек могут лежать на столе.
Для пункта б) при $r=100$ из неравенства $r\leq b+15$ получаем $b\geq 85$, а из неравенства $b\leq \dfrac{r}{5}+9$ получаем $b\leq 29$. Эти условия несовместимы, поэтому 100 красных карточек быть не может.
Объединим ограничения: $r\leq b+15$ и $b\leq \dfrac{r}{5}+9$. Тогда $r\leq \dfrac{r}{5}+24$, откуда $\dfrac{4r}{5}\leq 24$ и $r\leq 30$.
Значение $r=30$ достижимо при $b=15$. На синих карточках размещаем числа $-40,-35,\ldots,25,30$, кратные 5. На красных карточках размещаем числа $-42,-39,\ldots,42,45$, кратные 3. Максимальное синее число равно $30=r$, а максимальное красное число равно $45=3b$.
а) Да. б) Нет. в) Наибольшее количество красных карточек — 30.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что числа на карточках одного цвета должны быть различными.
Считать числа, кратные 3 или 5, начиная с $-45$, хотя по условию все числа строго больше $-45$.
Забывать, что максимальное число на синей карточке равно количеству красных карточек и потому само должно делиться на 5.
Получить верхнюю оценку $r\leq 30$, но не доказать, что значение $30$ действительно достижимо.