Решение: Тригонометрическое уравнение с двойным углом
Решите уравнение $\sin x + 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin 2x + 1$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.
Решение по шагам
7 шаговРаскроем синус суммы:
$$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\sin 2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos 2x\sin\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$$Подставим полученное выражение в исходное уравнение и сократим одинаковые слагаемые:
$$\sin x+\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x+1$$Получаем уравнение:
$$\sin x+\cos 2x=1$$Используем формулу двойного угла:
$$\sin x+1-2\sin^2x=1$$Разложим на множители:
$$\sin x(1-2\sin x)=0$$Отсюда получаем два набора решений:
$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad \sin x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+2\pi n\ \text{или}\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$На отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]$ из решений $x=\pi n$ подходят $x=-3\pi$ и $x=-2\pi$. Из решений $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ подходит $x=-\frac{19\pi}{6}$. Решения вида $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ на данном отрезке отсутствуют.
Общее решение: $x=\pi n$, $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$, где $n\in\mathbb Z$. На отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]$: $x\in\left\{-3\pi,-\frac{19\pi}{6},-2\pi\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно раскрывают формулу синуса суммы.
Теряют множитель $2$ перед $\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$.
Указывают только общее решение и не проверяют его на заданном отрезке.
Не включают конечную точку $-2\pi$ в множество корней.