Решение: Тригонометрическое уравнение на отрезке
а) Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+2\sin(\pi+x)=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\dfrac{13\pi}{2}\right]$.
Решение по шагам
7 шаговПреобразуем второй синус:
$$\sin(\pi+x)=-\sin x$$После деления уравнения на $2$ получаем:
$$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-\sin x=0$$Применим формулу разности синусов:
$$2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\dfrac{\pi}{6}=0$$Так как $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$, имеем:
$$\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=0$$Общее решение уравнения:
$$x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$Определим значения параметра $k$ для отрезка $\left[5\pi;\dfrac{13\pi}{2}\right]$:
$$5\pi\leq\dfrac{\pi}{3}+\pi k\leq\dfrac{13\pi}{2}$$После деления на $\pi$ получаем $\dfrac{14}{3}\leq k\leq\dfrac{37}{6}$, поэтому $k=5$ или $k=6$. Соответствующие корни:
$$x=\dfrac{\pi}{3}+5\pi=\dfrac{16\pi}{3},\quad x=\dfrac{\pi}{3}+6\pi=\dfrac{19\pi}{3}$$а) $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$. б) $x\in\left\{\dfrac{16\pi}{3};\dfrac{19\pi}{3}\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно преобразуют $\sin(\pi+x)$ в $\sin x$ вместо $-\sin x$.
Теряют множитель $2$ при применении формулы разности синусов.
Не проверяют значения параметра $k$ на принадлежность заданному отрезку.