Решение: Фрукты и средняя масса
В ящике лежит 87 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 94 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 127 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Решение по шагам
9 шаговОбозначим через $n$ количество фруктов массой меньше 100 г, через $k$ — количество фруктов массой 100 г, а через $m$ — количество фруктов массой больше 100 г. Тогда
$$n+k+m=87$$Общая масса всех фруктов равна $87\cdot100=8700$ г. С учётом средних масс в трёх группах получаем
$$94n+100k+127m=8700$$Вычтем из второго равенства первое, умноженное на 100:
$$-6n+27m=0$$Следовательно, $6n=27m$, то есть $2n=9m$. Поэтому существуют натуральные числа $t$, для которых $n=9t$, $m=2t$. Тогда
$$k=87-9t-2t=87-11t$$В пункте а) количества фруктов массой меньше и больше 100 г должны быть равны, то есть $n=m$. Но найденное соотношение $n=\frac{9}{2}m$ этому противоречит. Значит, это невозможно.
Так как $k=87-11t$, а $t$ — положительное целое число, при $t=7$ получаем $k=10$, а при больших значениях $t$ количество фруктов становится отрицательным. Следовательно, фруктов массой 100 г не может быть меньше 9; минимально их 10. Пункт б) невозможен.
Для фиксированного $t$ общая масса фруктов тяжелее 100 г равна $127m=254t$ г. Чтобы масса одного из них была максимальной, остальные $m-1=2t-1$ фруктов должны иметь минимальную целую массу 101 г. Поэтому масса самого тяжёлого фрукта не превосходит
$$254t-101(2t-1)=52t+101$$Это выражение возрастает с ростом $t$, поэтому максимум достигается при $t=7$. Тогда $m=14$, $n=63$, $k=10$, а максимальная масса равна
$$52\cdot7+101=465$$Возможность достигается: 13 фруктов имеют массу 101 г, один фрукт — 465 г; 63 лёгких фрукта могут иметь, например, массу 94 г каждый, а 10 фруктов имеют массу 100 г.
а) Нет. б) Нет, минимально возможно 10 таких фруктов. в) Наибольшая масса фрукта — 465 г.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что массы фруктов выражаются целыми числами, и брать для остальных тяжёлых фруктов массу меньше 101 г.
Считать, что из равенства средних масс следует равенство количеств фруктов.
Забыть проверить существование набора фруктов, при котором достигается найденный максимум.