Решение: Платежи по кредиту в 2027 году
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 72 месяца. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
к 15 декабря 2032 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?
Решение по шагам
6 шаговКредит должен быть погашен за 72 месяца, поэтому долг на 15-е число каждого следующего месяца уменьшается на одну и ту же величину:
$$d = \frac{18\,000\,000}{72} = 250\,000$$Обозначим через $D_k$ долг на 15-е число через $k$ месяцев после получения кредита. Тогда:
$$D_k = 18\,000\,000 - 250\,000k$$В январе 2027 года долг на 15-е число предыдущего месяца равен $18\,000\,000$ рублей, а в декабре 2027 года — $15\,250\,000$ рублей. Эти значения образуют арифметическую прогрессию из 12 членов.
$$D_0=18\,000\,000,\quad D_{11}=18\,000\,000-250\,000\cdot11=15\,250\,000$$Перед платежом долг увеличивается на 1 %, после чего платежом он уменьшается до значения, меньшего предыдущего долга на $250\,000$ рублей. Поэтому платёж в месяце с долгом $D_k$ равен:
$$P_k=1{,}01D_k-(D_k-250\,000)=250\,000+0{,}01D_k$$Сумма долгов, использованных для расчёта платежей за 2027 год, равна:
$$\sum_{k=0}^{11}D_k=\frac{12(18\,000\,000+15\,250\,000)}{2}=199\,500\,000$$Общая сумма платежей за 2027 год составляет:
$$\sum_{k=0}^{11}P_k=12\cdot250\,000+0{,}01\cdot199\,500\,000=3\,000\,000+1\,995\,000=4\,995\,000$$Общая сумма платежей в 2027 году равна 4 995 000 рублей.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают увеличение долга на 1 % после платежа, а не до него.
Берут 1 % от постоянной величины кредита вместо 1 % от долга на 15-е число предыдущего месяца.
Суммируют 13 значений долга, хотя в 2027 году происходит 12 платежей.