Сечение пирамиды плоскостью
На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=2:1$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На ребре правильной четырёхугольной пирамиды а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является равнобедренной трапецией. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость разбивает пирамиду. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Продлите плоскость сечения до пересечения с ребром $SC$. Как расположены точки $M$ и новая точка пересечения на боковых рёбрах?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Используйте среднюю линию треугольников $SCD$ и $SBC$, а также симметрию правильной четырёхугольной пирамиды. Для объёмов удобно ввести координаты или рассмотреть подобные сечения.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Плоскость пересекает $SC$ в его середине $N$. Сечение — трапеция $QPMN$, причём $QP\parallel MN$ и $QM=PN$. Вычисление объёмов даёт доли $7/9$ и $2/9$ от объёма пирамиды.