Шешімі: Сечение пирамиды плоскостью

Обозначим через $N$ точку пересечения плоскости $MPQ$ с ребром $SC$. Так как $P$ и $Q$ — середины противоположных боковых рёбер основания, отрезок $PQ$ параллелен $AB$ и $CD$.

В треугольнике $SDC$ точка $M$ делит $SD$ в отношении $SM:MD=2:1$, а плоскость через $M$ и $Q$ пересекает симметричное ребро $SC$ в точке $N$. Из координат или теоремы о пропорциональных отрезках получаем $SN:NC=1:1$, то есть $N$ — середина $SC$.

В треугольнике $SBC$ отрезок $PN$ соединяет середины рёбер $BC$ и $SC$, поэтому $PN\parallel SB$. В треугольнике $SAD$ отрезок $QM$ соединяет середины рёбер $AD$ и $SD$, поэтому $QM\parallel SA$. Следовательно, $MN\parallel QP$, и четырёхугольник $QPMN$ является трапецией.

Правильная четырёхугольная пирамида симметрична относительно плоскости, проходящей через её высоту и середины рёбер $BC$ и $AD$. Эта плоскость переводит $M$ в $N$, а $Q$ в $P$, поэтому $QM=PN$. Следовательно, сечение $QPMN$ является равнобедренной трапецией.

Для вычисления объёмов введём координаты: основание расположим в плоскости $z=0$, его центр — в начале координат, а вершину пирамиды обозначим $S=(0,0,h)$. Пусть основание имеет координаты $-1\le x,y\le 1$. Тогда $P=(1,0,0)$, $Q=(-1,0,0)$, а из условия $SM:MD=2:1$ получаем $M=(-2/3,2/3,h/3)$.

Уравнение плоскости $MPQ$ имеет вид $z=hy/2$. Для точек пирамиды, соответствующих точке основания с координатой $y$, доля высоты части над этой плоскостью равна $1$ при $-1\le y\le0$ и $2/(2+y)$ при $0\le y\le1$. Поэтому доля объёма верхнего многогранника равна