Решение: Система с параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
\[
\begin{cases}
(xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0,\\
y=3x+a
\end{cases}
\]
имеет ровно два различных решения.
Решение по шагам
8 шаговЕсли произведение $(xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}$ равно нулю, то в силу существования квадратного корня необходимо и достаточно, чтобы $xy-2x+12=0$ и $y-2x+12\geqslant 0$.
Подставим $y=3x+a$ в уравнение $xy-2x+12=0$:
$$x(3x+a)-2x+12=0\quad\Longleftrightarrow\quad 3x^2+(a-2)x+12=0$$На кривой $xy-2x+12=0$ имеем $y=2-\dfrac{12}{x}$, поэтому условие существования корня принимает вид:
$$y-2x+12=14-2x-\frac{12}{x}\geqslant0$$Решение последнего неравенства:
$$-2\frac{(x-1)(x-6)}{x}\geqslant0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,0)\cup[1,6]$$Выразим параметр через $x$ на кривой пересечения:
$$a=2-3x-\frac{12}{x}$$На интервале $(-\infty,0)$ функция $a(x)=2-3x-\dfrac{12}{x}$ принимает все действительные значения; при каждом значении $a$ имеется ровно один допустимый отрицательный корень, кроме точки касания $x=-2$, которая при $a=14$ также даёт только один корень.
На отрезке $[1,6]$ функция возрастает на $[1,2]$ и убывает на $[2,6]$. При этом $a(1)=-13$, $a(2)=-10$, $a(6)=-18$. Поэтому на $[1,6]$ ровно один корень получается при $a\in[-18,-13)$ и при $a=-10$.
К одному корню на отрицательном интервале добавляется ровно один корень на $[1,6]$ именно при указанных значениях параметра.
a\in[-18,-13)\cup\{-10\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение подкоренного выражения.
Считать корень $x=-2$ при $a=14$ двумя различными решениями.
Включить значение $a=-13$, при котором на отрезке $[1,6]$ возникают два корня, а всего решений становится три.
Забыть проверить концы отрезка $[1,6].