Решение: Подсчёт кратных чисел
На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $20$, меньше, чем чисел, делящихся на $23$.
Решение по шагам
5 шаговРассмотрим отрезок из $k$ последовательных натуральных чисел. Любые $60$ последовательных чисел содержат не менее трёх чисел, делящихся на $20$, поскольку такие числа идут через каждые $20$ чисел. При этом в любых $60$ последовательных числах содержится не более трёх чисел, делящихся на $23$, поскольку $4$ таких числа требуют промежутка длиной не менее $70$ между первым и последним, а минимальная длина отрезка, содержащего четыре числа, кратных $23$, равна $70$.
а) Да, это возможно. Например, в последовательности чисел от $21$ до $99$ содержатся ровно три числа, делящихся на $20$: $40$, $60$ и $80$. Числа, делящиеся на $23$, равны $23$, $46$, $69$ и $92$, то есть их четыре. Поэтому условие выполнено.
б) Нет. Если в последовательности содержится ровно десять чисел, делящихся на $20$, то длина последовательности не превосходит $199$, так как одиннадцать чисел, кратных $20$, имеют разность между первым и последним, равную $200$. Чтобы в последовательности было одиннадцать чисел, делящихся на $23$, её длина должна быть не менее $231$, так как разность между первым и одиннадцатым такими числами равна $230$. Следовательно, при наличии ровно десяти кратных $20$ чисел кратных $23$ не может быть больше десяти.
Для нахождения максимального $k$ заметим, что при $k=60$ в последовательности обязательно есть не менее трёх чисел, делящихся на $20$, и не более трёх чисел, делящихся на $23$. Поэтому требуемое неравенство невозможно при $k\geq 60$.
Покажем, что $k=59$ достижимо. Возьмём последовательность от $21$ до $79$. В ней два числа, делящихся на $20$: $40$ и $60$. В ней три числа, делящихся на $23$: $23$, $46$ и $69$. Значит, число кратных $20$ меньше числа кратных $23$.
а) Да, например, $21,22,\ldots,99$. б) Нет. в) Наибольшее возможное значение $k$ равно $59$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что в любых $60$ последовательных числах содержится ровно три числа, делящихся на $20$.
Путать расстояние между первым и последним из $11$ кратных чисел с длиной содержащего их отрезка.
Приводить только пример для $k=59$ без доказательства невозможности больших значений.