Решение: Сечение параллелепипеда плоскостью
Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб. Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат. Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=6$, $AB=4$.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим $AB=a$, $AD=b$, $AA_1=h$. Так как плоскость сечения проходит через $BD_1$ и параллельна $AC$, она пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в их серединах. Сечение является параллелограммом с вершинами $B$, $D_1$ и этими двумя серединами.
Две соседние стороны сечения можно представить в виде векторов $\overrightarrow{BQ}=(-a,0,h/2)$ и $\overrightarrow{QD_1}=(0,b,h/2)$, где $Q$ — середина ребра $AA_1$.
$$$BQ=\sqrt{a^2+\dfrac{h^2}{4}},\quad QD_1=\sqrt{b^2+\dfrac{h^2}{4}}$$$Так как сечение является ромбом, его соседние стороны равны. Следовательно, $a=b$, то есть $AB=AD$. Грань $ABCD$ — прямоугольник, поэтому при равенстве его соседних сторон она является квадратом.
$$$\sqrt{a^2+\dfrac{h^2}{4}}=\sqrt{b^2+\dfrac{h^2}{4}}\Rightarrow a=b$$$Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $D(0,4,0)$, $A_1(0,0,6)$. Тогда $C(4,4,0)$ и $D_1(0,4,6)$. Направляющие векторы плоскости $\alpha$ можно взять такими: $\overrightarrow{AC}=(4,4,0)$ и $\overrightarrow{BD_1}=(-4,4,6)$.
Нормаль к плоскости $\alpha$ найдём как векторное произведение этих направляющих векторов. Плоскость $BCC_1$ имеет уравнение $x=4$, поэтому её нормаль можно взять равной $(1,0,0)$.
$$$\vec n_\alpha=\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD_1}=(24,-24,32)$$$Угол между плоскостями равен острому углу между их нормалями.
$$$\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_\alpha\cdot(1,0,0)|}{|\vec n_\alpha|}=\dfrac{24}{\sqrt{24^2+(-24)^2+32^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{34}}$$$Следовательно, искомый угол равен примерно $59^\circ$.
$$$\varphi=\arccos\dfrac{3}{\sqrt{34}}\approx59^\circ$$$$ABCD$ — квадрат; $\varphi=\arccos\dfrac{3}{\sqrt{34}}\approx59^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что сечение является параллелограммом с двумя сторонами, зависящими от $AB$ и $AD$.
Считать угол между плоскостями равным тупому углу между их нормалями.
Использовать вектор, лежащий в плоскости $BCC_1$, вместо нормали к этой плоскости.
Забыть взять модуль скалярного произведения при нахождении острого угла между плоскостями.