Решение: Уравнение с косинусом
а) Решите уравнение $9 \cdot 81^{\cos x} - 28 \cdot 9^{\cos x} + 3 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};\,4\pi\right]$.
Решение по шагам
5 шаговПредставим степени через число $3$ и введём замену $t=3^{\cos x}$. Тогда $81^{\cos x}=t^4$, $9^{\cos x}=t^2$.
$$9t^4-28t^2+3=0$$Обозначим $y=t^2$. Решаем квадратное уравнение относительно $y$.
$$9y^2-28y+3=0$$Находим корни квадратного уравнения.
$$D=(-28)^2-4\cdot9\cdot3=676=26^2,\quad y_1=3,\quad y_2=\frac{1}{9}$$Так как $y=9^{\cos x}$, получаем два уравнения. Из $9^{\cos x}=3$ следует $\cos x=\frac12$. Уравнение $9^{\cos x}=\frac19$ даёт $\cos x=-2$, что невозможно.
$$x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb Z$$Проверим корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$. В этот отрезок попадает только значение $2\pi\cdot2-\frac\pi3=\frac{11\pi}{3}$.
$$\frac{5\pi}{2}\leq\frac{11\pi}{3}\leq4\pi$$Общее решение: $x=2\pi k\pm\dfrac{\pi}{3}$, $k\in\mathbb Z$. На отрезке $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$ находится корень $x=\dfrac{11\pi}{3}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Потеря корня при переходе от уравнения относительно $t^2$ к исходному.
Ошибочное принятие значения $\cos x=-2$ за допустимое.
Неверный перебор целых значений $k$ при отборе корней на отрезке.