Решение: Система с параметром
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases}(x^2-5x-y+3)\sqrt{x-y+3}=0,\\ y=3x+a\end{cases}$ имеет ровно два различных решения.
Решение по шагам
8 шаговИз второго уравнения выразим $y$ и найдём область допустимых значений первого уравнения:
$$y=3x+a,\qquad x-y+3=3-2x-a\geq 0$$Произведение равно нулю, поэтому возможны два случая. В первом случае корень равен нулю:
$$x-y+3=0\Rightarrow 3-2x-a=0\Rightarrow x_0=\dfrac{3-a}{2}$$Это решение существует при любом $a$. Во втором случае обращается в ноль первый множитель:
$$x^2-5x-y+3=0\Rightarrow x^2-8x+3-a=0$$Корни второго уравнения должны дополнительно удовлетворять условию $x\leq\dfrac{3-a}{2}$. Его дискриминант равен:
$$D=64-4(3-a)=4(a+13)$$При $a<-13$ корней второго уравнения нет. При $a=-13$ имеется один корень $x=4$, который не совпадает с $x_0=-5$, поэтому всего два решения.
При $-13<a<-9$ оба корня удовлетворяют ограничению, поэтому вместе с первым решением получается три решения. При $a=-9$ один из корней совпадает с первым решением: $x_0=6$, а корни второго уравнения равны $2$ и $6$. Поэтому всего два решения.
При $-9<a<3$ ровно один корень второго уравнения удовлетворяет ограничению, и он не совпадает с первым решением. Поэтому всего два решения.
При $a=3$ единственный допустимый корень второго уравнения совпадает с первым решением $x_0=0$, поэтому решение только одно. При $a>3$ допустимых корней второго уравнения нет.
Ответ: $a=-13$ или $a\in[-9;3)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x-y+3\geq 0$, возникающее из-за квадратного корня.
Считать совпадающие решения дважды при $a=-9$ и $a=3$.
Учитывать только дискриминант квадратного уравнения, не проверяя допустимость его корней.