Решение: Высоты и площади треугольников
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $H$. Через точку $C_1$ параллельно высоте $BB_1$ проведена прямая, пересекающая высоту $AA_1$ в точке $K$.
Решение по шагам
7 шаговТак как $C_1K\parallel BB_1$, а $CH$ и $BH$ лежат на высотах $CC_1$ и $BB_1$, углы, образованные этими прямыми, позволяют установить подобие соответствующих прямоугольных треугольников. Из этого подобия следует
$$\frac{KH}{C_1H}=\frac{BC}{AB}$$Следовательно, после перемножения получаем требуемое равенство:
$$AB\cdot KH=BC\cdot C_1H$$Для вычисления отношения площадей введём координаты: $A=(0,0)$, $B=(6,0)$. Пусть $C_1=(x,y)$. Из $AC=5$ и $BC=4$ получаем
$$x=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB}=\frac{15}{4},\qquad y=\frac{5\sqrt7}{4}$$Высота $CC_1$ имеет уравнение $x=\frac{15}{4}$. Координаты ортоцентра и точки $K$ находятся как точки пересечения соответствующих высот и прямой $C_1K\parallel BB_1$. В результате
$$C_1H=\frac{2\sqrt7}{7},\qquad KH=\frac{5}{12}$$Так как $C_1H$ перпендикулярно $KH$, площадь треугольника $C_1HK$ равна
$$S_{C_1HK}=\frac12\cdot C_1H\cdot KH=\frac12\cdot\frac{2\sqrt7}{7}\cdot\frac{5}{12}=\frac{5\sqrt7}{84}$$Площадь треугольника $ABC$ найдём по основанию $AB$ и высоте $CC_1$:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot 6\cdot\frac{5\sqrt7}{4}=\frac{15\sqrt7}{4}$$Отношение площадей равно
$$\frac{S_{C_1HK}}{S_{ABC}}=\frac{5\sqrt7/84}{15\sqrt7/4}=\frac1{63}$$а) $AB\cdot KH=BC\cdot C_1H$; б) $\dfrac{S_{C_1HK}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{63}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Перепутать отрезки $C_1H$ и $CC_1$.
Использовать в формуле площади треугольника $C_1HK$ неправильную высоту.
Не учитывать, что $KH\perp C_1H$, поскольку $KH$ лежит на высоте $AA_1$, а $C_1H$ — на высоте $CC_1$ только в специальной координатной конфигурации; перпендикулярность должна быть обоснована используемыми координатами или вычислением.