12
Решение: Площадь треугольника по медиане
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИEBC7ABКороткий ответ≈ 2 минутыРазбор в 3 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK = \dfrac{1}{4}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 4. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
3 шага1
Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол $A$. Поэтому отношение их площадей равно отношению произведений двух сторон, заключающих этот угол.
$$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \dfrac{AK \cdot AM}{AB \cdot AC}$$2
Точка $M$ — середина стороны $AC$, так как $BM$ — медиана. Следовательно, $AM = \dfrac{1}{2}AC$, а $AK = \dfrac{1}{4}AB$.
$$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$$Площадь треугольника $ABC$ в 8 раз больше площади треугольника $AMK$.
$$S_{ABC} = 8 \cdot 4 = 32$$Ответ
32
32
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Забывают, что медиана делит сторону $AC$ пополам.
Используют отношение площадей $\dfrac{1}{4}$ вместо произведения двух отношений и получают 16.