Решение: Решения неравенств на оси
Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями, представленными на координатной прямой.
Решение по шагам
4 шагаДля неравенства $(x-1)^2(x-4)<0$ множитель $(x-1)^2$ неотрицателен и обращается в ноль при $x=1$. Произведение отрицательно при $x<4$, кроме точки $x=1$.
$$x\in(-\infty;1)\cup(1;4)$$Для неравенства $\dfrac{x-1}{x-4}>0$ дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.
$$x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty)$$Для неравенства $(x-1)(x-4)<0$ произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями.
$$x\in(1;4)$$Для неравенства $\dfrac{(x-4)^2}{x-1}>0$ числитель положителен при $x\ne4$, а знаменатель положителен при $x>1$. Точки $x=1$ и $x=4$ не входят в решение.
$$x\in(1;4)\cup(4;+\infty)$$Где здесь ошибаются
Включают точки $x=1$ или $x=4$ в решение при строгом неравенстве.
Забывают, что точка $x=1$ запрещена в дроби.
Не исключают точку $x=4$, где числитель дроби равен нулю.