Решение: Подсчёт точек внутри фигур
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет след в виде линии. Команды «Вперёд $n$» и «Назад $n$» перемещают Черепаху на $n$ единиц в направлении головы или в противоположном направлении соответственно. Команды «Направо $m$» и «Налево $m$» изменяют направление движения на $m$ градусов. Команды «Поднять хвост» и «Опустить хвост» переключают режим рисования. Запись «Повтори $k$ [команды]» означает повторение последовательности $k$ раз.
Черепахе был дан алгоритм:
«Повтори 2 [Вперёд 3 Налево 90 Назад 10 Налево 90]
Поднять хвост
Назад 10 Направо 90 Вперёд 9 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 2 [Вперёд 16 Направо 90 Вперёд 8 Направо 90]».
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри объединения фигур, ограниченного заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.
Решение по шагам
6 шаговПосле выполнения первой команды «Повтори 2» Черепаха рисует прямоугольник от $x=0$ до $x=10$ и от $y=0$ до $y=3$. Его размеры — $10 \times 3$.
Число целочисленных точек внутри и на границе первого прямоугольника:
$$(10+1)(3+1)=44$$При поднятом хвосте Черепаха перемещается в точку $(9,-10)$ и начинает рисовать второй прямоугольник. Его размеры — $8 \times 16$.
Число целочисленных точек внутри и на границе второго прямоугольника:
$$(8+1)(16+1)=153$$Прямоугольники пересекаются в области $9 \leqslant x \leqslant 10$, $0 \leqslant y \leqslant 3$. В ней 2 значения $x$ и 4 значения $y$, то есть 8 точек.
$$2 \cdot 4=8$$По формуле включений и исключений находим число точек в объединении:
$$44+153-8=189$$Где здесь ошибаются
Не учитывать точки на границах прямоугольников.
Не вычесть точки, принадлежащие пересечению двух фигур.
Ошибиться при определении положения второй фигуры после перемещения с поднятым хвостом.