Решение: Минимальная длина отрезка
На числовой прямой даны два отрезка: $P = [117; 158]$ и $Q = [129; 180]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, что формула $$(x \in P) \to (((x \in Q) \land \neg(x \in A)) \to \neg(x \in P))$$ истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной $x$.
Решение по шагам
4 шагаРассмотрим формулу при $x \in P$. Тогда левая часть внешней импликации истинна, поэтому должна быть истинной правая часть.
$$((x \in Q) \land \neg(x \in A)) \to \neg(x \in P)$$При $x \in P$ выражение $\neg(x \in P)$ ложно. Чтобы импликация с ложным следствием была истинной, её условие должно быть ложным.
$$\neg\big((x \in Q) \land \neg(x \in A)\big)$$Следовательно, для всех точек, принадлежащих одновременно $P$ и $Q$, они должны принадлежать $A$.
$$P \cap Q = [117;158] \cap [129;180] = [129;158]$$Минимальный отрезок $A$ — это отрезок $[129;158]$. Его длина равна разности координат концов.
$$|A| = 158 - 129 = 29$$Где здесь ошибаются
Рассматривать объединение отрезков $P$ и $Q$ вместо их пересечения.
Забывать, что при истинном условии и ложном следствии импликация ложна.
Вычислять длину отрезка как $158 - 129 + 1$.