Шешімі: Подсчёт наборов логических переменных
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_6, y_1, y_2, \ldots, y_{10}$, которые удовлетворяют всем приведённым ниже условиям?
$$(x_i \land y_j \to x_i \land y_{j+1}) \land (x_i \land y_j \to x_{i+1} \land y_j)=1$$
для всех натуральных $i$ и $j$, таких, что $i<6$ и $j<10$.
Иными словами, для каждой пары $i,j$ из указанного диапазона проверяется, что если одновременно истинны $x_i$ и $y_j$, то истинными должны быть также $y_{j+1}$ и $x_{i+1}$.
Шешім по шагам
3 қадамДля каждой пары индексов $i<6$, $j<10$ условие является конъюнкцией двух импликаций. Оно нарушается только в случае, когда $x_i=y_j=1$, но $x_{i+1}=0$ или $y_{j+1}=0$.
$$(x_i \land y_j) \Rightarrow (x_{i+1} \land y_{j+1})$$Следовательно, перебираем двоичные наборы для переменных $x_1,\ldots,x_6$ и $y_1,\ldots,y_{10}$ и оставляем только те, в которых для всех $i=1,\ldots,5$ и $j=1,\ldots,9$ выполняется указанное условие.
При систематическом подсчёте допустимых наборов по значениям переменных получаем $2217$ наборов.
Где здесь ошибаются
Проверяют только одну из двух импликаций.
Забывают, что условие должно выполняться для всех пар индексов $i<6$ и $j<10$.
Считают количество наборов переменных, а не количество наборов, удовлетворяющих всем ограничениям.