Подсчёт наборов логических переменных
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_6, y_1, y_2, \ldots, y_{10}$, которые удовлетворяют всем приведённым ниже условиям?
$$(x_i \land y_j \to x_i \land y_{j+1}) \land (x_i \land y_j \to x_{i+1} \land y_j)=1$$
для всех натуральных $i$ и $j$, таких, что $i<6$ и $j<10$.
Иными словами, для каждой пары $i,j$ из указанного диапазона проверяется, что если одновременно истинны $x_i$ и $y_j$, то истинными должны быть также $y_{j+1}$ и $x_{i+1}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Сколько существует различных наборов значений логических переменных (xi yj → xi yj + 1) (xi yj → xi + 1 yj) = 1 для всех натуральных i и j, таких, что i < 6 и j < 10. Ниже для Вашего удобства приведены некоторые из равенств, соответствующих этим условиям.
(x1 y1 → x1 y2) (x1 y1 → x2 y1) = 1 (x1 y2 → x1 y3) (x1 y2 → x2 y2) = 1 … (x5 y8 → x5 y9) (x5 y8 → x6 y8) = 1 (x5 y9 → x5 y10) (x5 y9 → x6 y9) = 1
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, … x6, y1, y2, … y10, удовлетворяющих условию задачи. | |||
| |
Формат: число или слово без единиц измерения; дробную часть отделяйте запятой.
1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите отдельно случаи, когда хотя бы одна из переменных $x_i$ или $y_j$ принимает значение 1.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Импликация $A\to B$ нарушается только тогда, когда $A=1$, а $B=0$. Поэтому при $x_i=y_j=1$ должны выполняться $x_{i+1}=1$ и $y_{j+1}=1$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Переберите допустимые состояния строк переменных $x_1,\ldots,x_6$ и $y_1,\ldots,y_{10}$, отбрасывая каждый набор, в котором для некоторой пары $i<6$, $j<10$ выполняется $x_i=y_j=1$ и хотя бы одна из переменных $x_{i+1},y_{j+1}$ равна 0. Число оставшихся наборов равно $2217$.