Шешімі: Минимальный делитель для тождества
Обозначим через $\mathrm{ДЕЛ}(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». Для какого наименьшего натурального числа $A$ логическое выражение $(\neg\mathrm{ДЕЛ}(x,26) \land \mathrm{ДЕЛ}(x,A)) \to (\mathrm{ДЕЛ}(x,39) \lor \neg\mathrm{ДЕЛ}(x,A))$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x$?
Шешім по шагам
4 қадамИмпликация ложна, когда её левая часть истинна, а правая — ложна.
Так как при истинности условия $\mathrm{ДЕЛ}(x,A)$ выражение $\neg\mathrm{ДЕЛ}(x,A)$ ложно, правая часть требует выполнения $\mathrm{ДЕЛ}(x,39)$.
Чтобы выражение было тождественно истинным, достаточно сделать левую часть всегда ложной. Для этого каждый делитель $x$, кратный $A$, должен быть кратен $26$, то есть $A$ должно делиться на $26$.
Наименьшее натуральное число, делящееся на $26$, равно $26$. При $A=26$ условие $\mathrm{ДЕЛ}(x,A)$ означает $\mathrm{ДЕЛ}(x,26)$, поэтому одновременно с $\neg\mathrm{ДЕЛ}(x,26)$ оно невыполнимо.
Где здесь ошибаются
Выбрать $39$, поскольку оно делает правую часть истинной, хотя существует меньшее подходящее значение $26$.
Проверять только отдельные значения $x$, а не условие тождественной истинности.
Забыть, что импликация автоматически истинна при ложной левой части.