Решение: Подсчёт чётных номеров слов
Все шестибуквенные слова, составленные из букв П, Я, Т, Н, И, Ц, А, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. В начале списка: 1. АААААА; 2. АААААИ; 3. АААААН; 4. АААААП; 5. АААААТ; 6. АААААЦ; 7. АААААЯ. Определите в этом списке количество слов с чётными номерами, которые не начинаются с буквы Н и при этом содержат в своей записи ровно две буквы Я.
Решение по шагам
5 шаговАлфавитный порядок букв: А, И, Н, П, Т, Ц, Я. Им соответствуют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 в семеричной системе счисления. Номер слова на единицу больше значения соответствующего шестизначного числа.
Так как основание системы счисления 7 нечётное, чётность значения числа определяется чётностью суммы его цифр. Буква Я имеет индекс 6 и на чётность не влияет. Среди индексов 0–5 три чётных и три нечётных.
Если слово начинается с Я, вторую Я можно поставить на одном из 5 оставшихся мест. Для остальных 4 позиций сумма индексов должна быть нечётной: $\frac{6^4}{2}=648$ вариантов. Получаем $5 \cdot 648 = 3240$ слов.
Если слово не начинается с Я и не начинается с Н, первую букву можно выбрать 5 способами. Две буквы Я размещаются на двух из 5 оставшихся мест: $\binom{5}{2}=10$. Для оставшихся 3 позиций половина вариантов даёт нужную чётность: $\frac{6^3}{2}=108$. Получаем $5 \cdot 10 \cdot 108 = 5400$ слов.
Суммарное количество подходящих слов: $3240 + 5400 = 8640$.
Где здесь ошибаются
Забывают, что номер слова на единицу больше значения шестизначного числа.
Считают букву Я нечётной по её позиции в алфавите, хотя её индекс равен 6.
Не учитывают запрет на начальную букву Н.
Выбирают только одно место для второй буквы Я вместо двух мест из пяти.