Задания средней сложности по Математике (ЕГЭ)

Реши квадратные уравнения с помощью формулы дискриминанта

Эта группа задач посвящена решению квадратных уравнений с использованием формулы дискриминанта. Задачи требуют от учащихся понимания структуры квадратного уравнения и умения применять формулу для нахождения корней. Это важный навык в алгебре, который помогает развивать логическое мышление и математическую интуицию.

Олимпиадная задача перестановки камней в коробках

Группа задач, посвященная анализу перестановок камней между коробками, где требуется определить возможность достижения определенных состояний после серии ходов. Задачи требуют от участников умения анализировать изменения количества объектов в ограниченной системе и использовать математическую логику для проверки достижимости заданных состояний.

Олимпиадная задача с последовательностью 4 чисел

Эта группа задач посвящена исследованию свойств последовательностей из четырёх чисел, где каждое число делится на свою последнюю цифру, а результаты суммируются. Задачи требуют анализа возможности получения определённых сумм и поиска максимальных значений для заданных условий.

Прямоугольник с перпендикуляром к диагонали

Задачи этой группы посвящены изучению свойств прямоугольников, в которых рассматриваются перпендикуляры к диагоналям. В таких задачах часто требуется доказать равенство углов или найти длины отрезков, используя свойства прямоугольников и тригонометрические соотношения.

Окружность проходящая через вершины треугольника

Задачи на определение свойств окружностей, проходящих через вершины треугольника, и их взаимодействие с элементами треугольника. Включает доказательства подобия треугольников и вычисление геометрических параметров.

Оплата кредита с таблицей

Задачи на расчет выплат по кредиту с учетом процентной ставки и заданных условий по остаткам долга. Необходимо определить максимальную сумму кредита, при которой ежегодные выплаты не превышают определенную величину.

Оплата кредита фиксированной выплатой в нескольких годах

Данная группа задач посвящена вычислению максимальной суммы кредита, который можно взять при условии фиксированной выплаты в течение нескольких лет. Задачи требуют понимания сложных процентных ставок и умения составлять уравнения для расчета выплат, чтобы общая сумма не превышала заданный лимит.

Неравенство вида: ab^x + a^(x+1) + b^(x+1) + ab >= 0

Группа задач, в которых требуется решить неравенства, содержащие выражения вида ab^x + a^(x+1) + b^(x+1) + ab >= 0. Эти задачи требуют знания алгебры и навыков работы с показателями степени и неравенствами.

Неравенство вида: ab^x + a^(x+1) + b^(x+1) + ab >= 0

Эта группа задач посвящена решению неравенств, содержащих выражения с переменными в показателях степеней. Такие задачи требуют умения преобразовывать и упрощать выражения, а также применять свойства степеней и логарифмов. Решение подобных неравенств может включать в себя анализ поведения функций и использование графиков для нахождения областей допустимых значений.

Полная стеоерметрия с цилиндром

Группа задач по полной стереометрии с цилиндром включает в себя задачи, связанные с геометрическими свойствами цилиндра. Задачи требуют от учащихся применения знаний о свойствах цилиндра, углах между прямыми и плоскостями, а также вычисления объёмов и площадей. Такие задачи помогают развивать пространственное мышление и навыки доказательства геометрических утверждений.

Тригонометрическое уравнение вида: sin(x) * cos(x) + a * cos^2(x) + sin(x) = 0

Группа задач посвящена решению тригонометрических уравнений, которые включают произведения и суммы тригонометрических функций, таких как sin(x) и cos(x), с дополнительными параметрами. Эти задачи требуют применения тригонометрических тождеств и методов преобразования уравнений для нахождения всех возможных решений, включая те, которые принадлежат заданным интервалам.

Тригонометрическое уравнение вида: sin(x) * cos(x) + a * cos(x) = 0

Группа задач, связанных с решением тригонометрических уравнений, в которых присутствуют функции синуса и косинуса, а также параметр a. Эти задачи требуют знания тригонометрических тождеств и умения решать уравнения с тригонометрическими функциями.

Тригонометрическое уравнение вида: a^sin(x) + b^sin(x) + c = 0

Эта группа задач посвящена решению тригонометрических уравнений вида a^sin(x) + b^sin(x) + c = 0. Такие задачи требуют знания тригонометрических функций и их свойств, а также умения преобразовывать и решать уравнения с показателями. Задачи могут включать нахождение всех решений уравнения или только тех, которые принадлежат определённому отрезку.

Поиск минимума/максимума для тригонометрического уравнения с синусом

Задачи на поиск минимума или максимума тригонометрических функций, содержащих синус, в заданных интервалах. Требуется анализ функции и использование производных для нахождения экстремумов.

Поиск минимума/максимума для тригонометрического уравнения с косинусом

Задачи на поиск минимума или максимума тригонометрических функций, содержащих косинус, в заданных интервалах. Эти задачи требуют понимания свойств тригонометрических функций и умения находить экстремумы с использованием производных и анализа поведения функции на интервале.

Поиск минимума/максимума для кубического уравнения

Эта группа задач посвящена поиску точек минимума и максимума для кубических уравнений. Задачи требуют нахождения производной функции, анализа критических точек и определения характера экстремумов. Решение таких задач помогает развить навыки математического анализа и понимания поведения функций.

Восстановление функции logₐ(x) + b по графику

Задачи этой группы направлены на восстановление параметров функции вида logₐ(x) + b по её графику. Учащимся предлагается определить значения параметров a и b, используя данные о графике функции, и затем вычислить значение функции при заданном x.

Восстановление функции kx + b по графику

Группа задач, посвященная восстановлению линейной функции вида kx + b по заданному графику. Участникам предлагается определить коэффициенты k и b, используя информацию, полученную из графика, и затем применить полученную функцию для вычисления значений в заданных точках.

Восстановление функции ax² + bx + c по графику

Задачи на восстановление квадратичной функции вида ax² + bx + c по представленному графику. Необходимо определить коэффициенты a, b и c, используя ключевые точки графика, такие как вершина параболы и пересечения с осями координат. После восстановления функции требуется вычислить значение функции в заданной точке.

Восстановление функции aˣ + b по графику

Задачи этой группы направлены на восстановление параметров функции вида aˣ + b по её графику. Участникам предлагается анализировать график, чтобы определить значения параметров a и b, а затем использовать их для вычисления значений функции в заданных точках.

Задача на движение транспорта по течению и против

Задачи на движение транспорта по течению и против включают в себя вычисление скорости транспортного средства и внешних факторов, таких как течение или ветер, влияющих на движение. Эти задачи требуют применения уравнений движения и навыков решения линейных уравнений для нахождения неизвестных величин.

Задача на скорость наполнения объемам

Задачи на скорость наполнения или опустошения объема требуют нахождения времени, за которое один или несколько объектов (например, насосы или краны) могут заполнить или опустошить емкость. Такие задачи часто включают в себя работу с уравнениями, чтобы определить скорость работы каждого объекта и общее время выполнения задачи.

Задача на поиск расстояния до линзы

Задачи на поиск расстояния до линзы требуют применения формулы тонкой линзы для нахождения оптимального расстояния, при котором изображение будет четким. Эти задачи включают работу с фокусным расстоянием и расстояниями от объекта до линзы и от линзы до изображения.

Задача на нахождение угла столкновения

Задачи на нахождение угла столкновения требуют применения знаний по механике и алгебре для расчета углов на основе данных о массе, скорости и энергии объектов. Такие задачи часто включают использование тригонометрических формул и физических законов сохранения.

Задача на нахождение сопротивления

Задачи на нахождение сопротивления требуют от учащихся применения формулы для расчета силы тока через сопротивление и напряжение. Эти задачи помогают понять, как изменяются параметры электрической цепи при изменении сопротивления и напряжения, и учат находить минимальные или максимальные значения сопротивления для выполнения определенных условий.

Задача на время остановки объекта

Группа задач, посвященная расчету времени остановки объекта, движущегося с начальной скоростью и замедляющегося с постоянным ускорением. Такие задачи требуют применения формул кинематики для нахождения времени, за которое объект остановится или пройдет заданное расстояние.

Минимальное значение функции через производную

Задачи этой группы требуют нахождения точки, в которой функция достигает минимального значения, используя график её производной. Это включает анализ графика производной для определения критических точек и их классификацию.

Производная функции через касательную

Эта группа задач посвящена нахождению производной функции в заданной точке через анализ касательной к графику функции. Задачи требуют понимания концепции производной как скорости изменения функции и умения находить угловой коэффициент касательной.

Количество производных функции

Задачи этой группы направлены на определение количества точек на графике функции, в которых производная принимает отрицательное значение. Учащимся предлагается анализировать графики функций и находить такие точки, используя знания о производных и их интерпретации на графике.

Наибольшая производная функции

Группа задач, в которых необходимо определить точку на графике функции, в которой значение производной будет наибольшим. Эти задачи требуют понимания концепции производной и умения анализировать графики функций.

Вычисление с косинусом и синусом

Эта группа задач посвящена вычислениям с использованием тригонометрических функций косинуса и синуса. Задачи требуют знания тригонометрических тождеств и умения преобразовывать выражения для упрощения вычислений.

Вычисление с двумя синусами

Задачи этой группы требуют вычисления значений выражений, содержащих произведения синусов углов. Такие задачи часто требуют знания тригонометрических тождеств и умения преобразовывать тригонометрические выражения.

Вычисление логарифма

Задачи на вычисление логарифмов включают в себя нахождение значений логарифмических выражений, преобразование и упрощение логарифмов, а также использование свойств логарифмов для решения уравнений. Эти задачи помогают развить навыки работы с логарифмами и их применения в различных математических контекстах.

Вычисление двойной степепни

Задачи на вычисление двойной степени требуют от учащихся применения знаний о степенях и их свойствах. Учащимся необходимо уметь упрощать выражения, содержащие степени, и находить итоговые значения сложных степенных выражений.

Вычисление дробных степеней

Задачи на вычисление дробных степеней требуют от учащихся умения работать с показателями степени, которые не являются целыми числами. Эти задачи помогают развивать навыки преобразования и упрощения выражений с дробными степенями, что важно для понимания более сложных математических концепций.

Вероятность непрерывного промежутка

Задачи на нахождение вероятности события, происходящего в непрерывном промежутке. Такие задачи требуют понимания основ теории вероятностей и умения работать с распределениями вероятностей. Пример задачи: определить вероятность того, что случайная величина попадает в заданный интервал, зная вероятности для других интервалов.

Вероятность кубика

Группа задач, посвященная вычислению вероятностей при броске игральной кости. Задачи требуют знания основ теории вероятностей и умения анализировать различные комбинации выпадения чисел на кубике. Подобные задачи часто встречаются в школьной программе и помогают развивать логическое мышление и навыки работы с вероятностями.

Вероятность в транспорте

Группа задач, посвященная вычислению вероятностей в различных транспортных ситуациях. Задачи включают в себя нахождение вероятности получения определенного места в транспорте, вероятности столкновений, а также другие вероятностные сценарии, связанные с транспортом.

Вероятность отрезков

Группа задач, посвященная вычислению вероятностей событий, основанных на разнице вероятностей для последовательных значений. Задачи требуют понимания основ теории вероятности и умения работать с вероятностными интервалами.

Объем пирамиды внутри треугольной трапеции

Эта группа задач посвящена вычислению объема пирамиды, расположенной внутри треугольной трапеции. Задачи требуют знания геометрических формул и навыков пространственного мышления для нахождения объемов сложных многогранников.

Объем отсеченной призмы

Задачи на вычисление объема части треугольной призмы, отсеченной плоскостью, проходящей через среднюю линию основания и параллельной одному из боковых рёбер. Такие задачи требуют понимания свойств объемов геометрических тел и умения применять их для нахождения объема отсеченной части.

Объем четырехугольной пирамиды в кубе

Задачи на нахождение объема четырехугольной пирамиды, вписанной в куб или прямоугольный параллелепипед. В таких задачах требуется использовать знания о геометрических фигурах и их свойствах, а также применять формулы для вычисления объемов пирамид.

Объем пирамиды в кубе

Задачи на вычисление объема пирамиды, вписанной в куб или параллелепипед. Необходимо использовать знания геометрии для нахождения объемов многогранников, образованных заданными вершинами.

Объем конуса от высоты

Эта группа задач посвящена вычислению изменений объема конуса при изменении его параметров, таких как радиус основания или высота. Задачи требуют понимания формулы объема конуса и умения применять ее в различных ситуациях.

Объем шара в цилиндре

Задачи на вычисление объема цилиндра, в который вписан шар с известным объемом. Необходимо применить формулы для нахождения радиуса и высоты цилиндра, используя данные о шаре.

Объем конуса в сфере

Задачи на вычисление объема конуса, в который вписан шар. Необходимо использовать формулы объема шара и конуса, а также геометрические свойства вписанных фигур для нахождения решения.

Объем пирамиды в цилиндре

Задачи на вычисление объема пирамиды, вписанной в цилиндр, требуют знания геометрических свойств и формул для объемов тел. Эти задачи часто включают в себя работу с радиусом основания, высотой и использованием формул для площади боковой поверхности.

Длина вектора на примере ромба

Эта группа задач посвящена вычислению длины вектора в ромбе, используя свойства диагоналей и векторов. Задачи требуют знания геометрии и умения работать с векторами, что позволяет развивать пространственное мышление и навыки решения геометрических задач.

Длина суммы векторов на координатной плоскости

Эта группа задач посвящена вычислению длины суммы или разности векторов на координатной плоскости. Задачи требуют знания основ геометрии и алгебры для нахождения длины вектора, заданного через его координаты. Учащиеся должны уметь применять формулы для вычисления длины вектора и понимать, как складываются и вычитаются векторы в декартовой системе координат.

Поиск центральногго угла, через вписанный и смежный

Группа задач, в которых необходимо найти центральный угол окружности, используя свойства вписанных и смежных углов. Задачи требуют понимания теорем о вписанных углах и их связи с центральными углами, а также умения применять эти теоремы на практике.