Решение: Плотность металлического цилиндра
Сплошной металлический цилиндр, подвешенный к динамометру, поочередно полностью опускают сначала в воду, а затем в керосин. Показания динамометра в первом случае составляют $3{,}4\ \text{Н}$, а во втором — $3{,}8\ \text{Н}$. Чему равна плотность металла, из которого изготовлен цилиндр?
Решение по шагам
5 шаговНа цилиндр, полностью погружённый в жидкость, действуют сила тяжести, сила Архимеда и сила натяжения нити. При равновесии показание динамометра равно разности силы тяжести и выталкивающей силы:
$$T = mg - \rho_\text{ж}gV$$Вычтем показание динамометра в воде из показания в керосине. Примем плотность воды $\rho_\text{в} = 1000\ \text{кг/м}^3$, плотность керосина $\rho_\text{кер} = 800\ \text{кг/м}^3$, $g = 10\ \text{Н/кг}$:
$$3{,}8 - 3{,}4 = (1000 - 800) \cdot 10 \cdot V$$Объём цилиндра равен:
$$V = \dfrac{0{,}4}{200 \cdot 10} = 2 \cdot 10^{-4}\ \text{м}^3$$Из условия равновесия при погружении в воду найдём силу тяжести цилиндра:
$$mg = T_\text{в} + \rho_\text{в}gV = 3{,}4 + 1000 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 10^{-4} = 5{,}4\ \text{Н}$$Плотность металла определим как отношение массы к объёму. Так как $m = \dfrac{mg}{g}$, получаем:
$$\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{mg}{gV} = \dfrac{5{,}4}{10 \cdot 2 \cdot 10^{-4}} = 2700\ \text{кг/м}^3$$Плотность металла равна $2700\ \text{кг/м}^3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Вычитают показания динамометра в неправильном порядке.
Не учитывают, что выталкивающая сила зависит от плотности жидкости.
Используют показание динамометра как силу тяжести цилиндра.
Забывают, что цилиндр полностью погружён, поэтому объём вытесненной жидкости равен объёму цилиндра.