Шешімі: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+10x-21, & x\ge 3,\\-x+5, & x<3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Шешім по шагам
7 қадамПервую часть функции преобразуем к виду вершины параболы:
$$-x^2+10x-21=-(x-5)^2+4$$Это парабола с вершиной $(5;4)$, ветви направлены вниз. Рассматривается только часть при $x\ge 3$. При $x=3$ получаем $y=0$, поэтому точка $(3;0)$ принадлежит графику.
Вторая часть является лучом прямой $y=-x+5$ при $x<3$. При приближении $x$ к $3$ слева значение $y$ приближается к $2$, но точка $(3;2)$ не входит в график. Поэтому эта часть имеет значения $y>2$.
Для пересечения параболы с прямой $y=m$ решаем уравнение:
$$-(x-5)^2+4=m$$Если $m<0$, у параболы остаётся одна допустимая точка пересечения, так как левый корень будет меньше $3$. При $0\le m<4$ парабола имеет две точки пересечения. При $m=4$ имеется одна точка — вершина, а при $m>4$ пересечений с параболой нет.
Прямая $y=-x+5$ пересекается с горизонтальной прямой $y=m$ в точке с абсциссой $x=5-m$. Эта точка допустима при $5-m<3$, то есть при $m>2$.
Подсчитываем общее число точек. При $0\le m\le 2$ две точки даёт парабола, а луч прямой пересечения не даёт. При $m=4$ одна точка приходится на вершину параболы и одна — на луч прямой. В остальных случаях число точек отличается от двух.
m\in[0;2]\cup\{4\}
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ge 3$ для параболы.
Считать точку $(3;2)$ принадлежащей лучу прямой, хотя условие содержит $x<3$.
Забывать, что при $m>2$ горизонтальная прямая пересекает линейную часть графика.
Не рассматривать отдельно значение $m=4$, соответствующее вершине параболы.