Шешімі: График функции с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}5x^2+x)\cdot|x|}{x+2}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Шешімін қадамдап көрсету
6 қадамОбласть определения функции задаётся условием $x+2\ne0$, то есть $x\ne-2$.
Разложим числитель на множители:
$$0{,}5x^2+x=\frac{x(x+2)}{2}$$При $x\ne-2$ сократим множитель $x+2$:
$$y=\frac{x(x+2)|x|}{2(x+2)}=\frac{x|x|}{2}$$Раскроем модуль по двум промежуткам:
$$y=\begin{cases}-\dfrac{x^2}{2},&x<0,\\[4pt]\dfrac{x^2}{2},&x\geq0,\end{cases}\quad x\ne-2$$График состоит из двух частей парабол: при отрицательных $x$ это ветвь $y=-\dfrac{x^2}{2}$, при неотрицательных $x$ — ветвь $y=\dfrac{x^2}{2}$. В точке $(-2;-2)$ должна быть выколотая точка, так как $x=-2$ не входит в область определения.
Множество значений функции — все действительные числа, кроме $-2$: значение $-2$ достигается только при $x=-2$, а эта точка исключена.
Прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки при $m=-2$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne-2$ после сокращения дроби.
Изображать точку $(-2;-2)$ закрашенной.
Считать, что после сокращения область определения стала всей числовой прямой.