Шешімі: График с модулем
Постройте график функции $y=|x|(x-1)-5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Шешім по шагам
6 қадамРаскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$.
$$|x|=\begin{cases}-x,&x<0,\\x,&x\geqslant0\end{cases}$$На промежутке $x<0$ функция задаётся формулой параболы с ветвями вниз.
$$y=-x(x-1)-5x=-x^2-4x=4-(x+2)^2$$Вершина этой части графика имеет координаты $(-2;4)$. При $x<0$ горизонтальная прямая $y=m$ пересекает эту ветвь: две раза при $0<m<4$, один раз при $m\leqslant0$, один раз при $m=4$ и не пересекает при $m>4$.
На промежутке $x\geqslant0$ функция задаётся параболой с ветвями вверх.
$$y=x(x-1)-5x=x^2-6x=(x-3)^2-9$$Вершина этой части графика имеет координаты $(3;-9)$. При $x\geqslant0$ горизонтальная прямая $y=m$ имеет две точки пересечения при $-9<m\leqslant0$, одну точку при $m=-9$ или $m>0$, и не имеет точек пересечения при $m<-9$.
Проверим значения, при которых общее число пересечений равно двум. При $m=-9$ левая ветвь пересекается один раз, а правая касается в вершине: всего две точки. При $m=4$ левая ветвь касается в вершине, а правая пересекается один раз: всего две точки.
$m=-9$ или $m=4$
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x<0$ и $x\geqslant0$ после раскрытия модуля.
Считать точку $(0;0)$ принадлежащей обеим частям графика.
Забыть, что касание горизонтальной прямой с параболой даёт одну общую точку.