Шешімі: Высота и окружность треугольника
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH$, если $PK = 15$.
Шешім по шагам
7 қадамРасположим начало координат в точке $B$, а оси направим вдоль катетов $BA$ и $BC$. Пусть $H=(x;y)$.
Так как окружность имеет диаметр $BH$, для любой её точки $X=(X;Y)$ выполняется условие перпендикулярности $\overrightarrow{XB}$ и $\overrightarrow{XH}$:
$$X^2+Y^2-xX-yY=0$$При пересечении окружности с прямой $AB$ имеем $Y=0$. Получаем $X(X-x)=0$. Точка, отличная от $B$, имеет координаты $P=(x;0)$.
При пересечении окружности с прямой $CB$ имеем $X=0$. Получаем $Y(Y-y)=0$. Точка, отличная от $B$, имеет координаты $K=(0;y)$.
Тогда длина отрезка $PK$ равна:
$$PK=\sqrt{(x-0)^2+(0-y)^2}=\sqrt{x^2+y^2}$$Но $BH$ — расстояние от начала координат до точки $H=(x;y)$, поэтому $BH=\sqrt{x^2+y^2}=PK$.
Следовательно, при $PK=15$ получаем:
$$BH=15$$15
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Қате считать, что точки $P$ и $K$ являются проекциями точки $H$ без доказательства.
Забыть, что в уравнении окружности кроме точки $B$ есть второе пересечение с каждой осью.
Не обосновать равенство $PK=BH$.