Решение: Четырёхугольник и окружность
Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 18$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $132^\circ$ и $93^\circ$.
Решение по шагам
6 шаговТак как точка $M$ равноудалена от всех вершин, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на окружности с центром $M$. Поскольку $M$ — середина отрезка $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.
$$AD=2R$$Обозначим градусные меры дуг $AB$, $BC$ и $CD$ через соответственно $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Полуокружность $ABCD$ имеет меру $180^\circ$, поэтому $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$.
Угол $B$ опирается на дугу $ADC$, состоящую из полуокружности $AD$ и дуги $DC$. Поэтому $132^\circ=90^\circ+\dfrac{\gamma}{2}$, откуда $\gamma=84^\circ$.
Угол $C$ опирается на дугу $DAB$, состоящую из полуокружности $DA$ и дуги $AB$. Поэтому $93^\circ=90^\circ+\dfrac{\alpha}{2}$, откуда $\alpha=6^\circ$.
Тогда мера дуги $BC$ равна $\beta=180^\circ-6^\circ-84^\circ=90^\circ$. Хорда, стягивающая дугу $90^\circ$, имеет длину $BC=2R\sin45^\circ=R\sqrt{2}$.
Так как $BC=18$, получаем $R\sqrt{2}=18$, следовательно, $R=9\sqrt{2}$. Поэтому $AD=2R=18\sqrt{2}$.
$18\sqrt{2}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать углы $B$ и $C$ углами треугольников, а не внутренними углами четырёхугольника.
Забыть, что $AD$ является диаметром окружности.
Неверно определить дуги, на которые опираются углы $B$ и $C$.
Принять хорду $BC$ за радиус или диаметр.