Шешімі: График с модулем
Постройте график функции $y=3|x+8|-x^2-14x-48$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Шешім по шагам
6 қадамРаскроем модуль по определению.
$$y=\begin{cases}-3(x+8)-x^2-14x-48=-x^2-17x-72, & x<-8,\\ 3(x+8)-x^2-14x-48=-x^2-11x-24, & x\geqslant -8.\end{cases}$$Левая ветвь является частью параболы, направленной вниз. Её вершина имеет абсциссу $x=-\dfrac{17}{2}$ и ординату $y=\dfrac14$. При $x\to -8$ значение функции стремится к $0$.
$$y=-\left(x+\frac{17}{2}\right)^2+\frac14,\quad x<-8$$Правая ветвь также является частью параболы, направленной вниз. Её вершина имеет координаты $\left(-\dfrac{11}{2},\dfrac{25}{4}\right)$, а значение в точке $x=-8$ равно $0$.
$$y=-\left(x+\frac{11}{2}\right)^2+\frac{25}{4},\quad x\geqslant -8$$При $m=0$ левая ветвь пересекается с прямой в точке с абсциссой $x=-9$, а правая ветвь — в двух точках $x=-8$ и $x=-3$. Всего получается три общие точки.
$$-x^2-17x-72=0\Rightarrow x=-9,-8;\quad -x^2-11x-24=0\Rightarrow x=-8,-3$$При $0<m<\dfrac14$ левая ветвь даёт две точки пересечения, а правая — две, то есть всего четыре. При $m=\dfrac14$ левая ветвь касается прямой в вершине, а правая пересекает её в двух точках. Всего получается три точки.
$$m=\frac14$$При $\dfrac14<m<\dfrac{25}{4}$ пересечения есть только с правой ветвью, их два. При $m=\dfrac{25}{4}$ имеется одна точка, а при больших $m$ пересечений нет.
$m=0$ или $m=\dfrac14$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x<-8$ для левой ветви и $x\geqslant -8$ для правой.
Считать точку $x=-8$ принадлежащей обеим ветвям.
Не учитывать касание горизонтальной прямой в вершине параболы как одну общую точку.