Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y = \dfrac{(0{,}75x^2 + 2{,}25x)\cdot |x|}{x+3}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
6 шаговОбласть определения исходной функции задаётся условием $x \ne -3$, так как знаменатель не должен обращаться в ноль.
$$x+3 \ne 0 \quad \Rightarrow \quad x \ne -3$$Разложим числитель на множители и сократим общий множитель $x+3$, помня, что значение $x=-3$ по-прежнему запрещено.
$$y=\frac{0{,}75x(x+3)|x|}{x+3}=0{,}75x|x|, \quad x\ne -3$$При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому левая часть графика задаётся формулой $y=-0{,}75x^2$. При $x\ge 0$ имеем $|x|=x$, поэтому правая часть задаётся формулой $y=0{,}75x^2$.
$$y=\begin{cases}-0{,}75x^2, & x<0,\\ 0{,}75x^2, & x\ge 0,\end{cases} \quad x\ne -3$$Таким образом, график состоит из двух ветвей парабол: при $x<0$ — ветвь параболы, расположенная ниже оси $Ox$, а при $x\ge 0$ — ветвь параболы, расположенная выше оси $Ox$. В точке с абсциссой $x=-3$ имеется выколотая точка.
$$y(-3)=0{,}75\cdot(-3)\cdot|-3|=-\frac{27}{4}$$Все значения функции из области $y\le 0$ достигаются на левой ветви, кроме значения $-\frac{27}{4}$, поскольку оно соответствовало только запрещённому значению $x=-3$. Все значения $y\ge 0$ достигаются на правой ветви.
$$E(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{27}{4}\right\}$$Прямая $y=m$ не пересекает график только тогда, когда значение $m$ отсутствует среди значений функции.
$$m=-\frac{27}{4}$$Прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки при $m=-\dfrac{27}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Сокращают множитель $x+3$ и забывают исключить значение $x=-3$ из области определения.
Изображают полный график функции $y=0{,}75x|x|$ без выколотой точки.
Ошибочно считают, что удаление одной точки не влияет на множество значений функции.
Неверно вычисляют ординату выколотой точки: $y(-3)=-\dfrac{27}{4}$.