Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} 3x - 3, & x < 2, \\ -3x + 8{,}5, & 2 \le x \le 3, \\ 3{,}5x - 11, & x > 3. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговПостроим первую часть графика $y = 3x - 3$ при $x < 2$. При $x = 2$ значение равно $3$, но точка $(2; 3)$ не входит в график. Область значений этой части: $y < 3$.
$$y = 3x - 3,\quad x < 2$$Построим вторую часть графика $y = -3x + 8{,}5$ на отрезке $2 \le x \le 3$. На концах отрезка получаем точки $(2; 2{,}5)$ и $(3; -0{,}5)$. Область значений: $-0{,}5 \le y \le 2{,}5$.
$$y(2)=2{,}5,\quad y(3)=-0{,}5$$Построим третью часть графика $y = 3{,}5x - 11$ при $x > 3$. При $x = 3$ значение равно $-0{,}5$, но точка $(3; -0{,}5)$ для этой части не входит. Область значений: $y > -0{,}5$.
$$y = 3{,}5x - 11,\quad x > 3$$Если $m = -0{,}5$, прямая $y=m$ пересекает первую часть и имеет общую точку с графиком во второй части в точке $(3; -0{,}5)$. С третьей частью пересечения нет, так как условие $x>3$ исключает точку с ординатой $-0{,}5$.
$$m=-0{,}5$$При $2{,}5 < m < 3$ прямая пересекает первую и третью части графика, но не пересекает вторую часть. Поэтому имеется ровно две общие точки.
$$2{,}5 < m < 3$$Для остальных значений $m$ число пересечений не равно двум: при $-0{,}5 < m \le 2{,}5$ их три, а при $m \ge 3$ или $m < -0{,}5$ — одна либо ни одной.
$m = -0{,}5$ или $2{,}5 < m < 3$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать строгие условия $x < 2$ и $x > 3$.
Считать точку $(3; -0{,}5)$ принадлежащей третьей части графика.
Забыть, что при $-0{,}5 < m \le 2{,}5$ прямая пересекает все три части графика.