Решение: Радиус описанной окружности
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 39$ и $CD = 6$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $x$ половину центрального угла, опирающегося на хорду $AB$. Тогда половина центрального угла, опирающегося на хорду $CD$, равна $60^\circ - x$, поскольку угол между пересекающимися хордами равен половине суммы соответствующих дуг:
$$\angle AKB = \frac{1}{2}\left(2x + 2(60^\circ-x)\right)=60^\circ$$Используем формулу длины хорды $a=2R\sin\alpha$, где $\alpha$ — половина центрального угла, опирающегося на эту хорду:
$$39=2R\sin x,\qquad 6=2R\sin(60^\circ-x)$$Разделим второе равенство на первое и раскроем синус разности:
$$\frac{6}{39}=\frac{\sin(60^\circ-x)}{\sin x}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x}{\sin x}$$После преобразования получаем:
$$\frac{2}{13}=\sqrt3\cot x-1,\qquad \cot x=\frac{5\sqrt3}{13}$$Найдём синус угла $x$. Так как $1+\cot^2x=\dfrac{1}{\sin^2x}$, то:
$$\frac{1}{\sin^2x}=1+\frac{75}{169}=\frac{244}{169},\qquad \sin x=\frac{13}{2\sqrt{61}}$$Подставим найденное значение в формулу для хорды $AB$:
$$39=2R\cdot\frac{13}{2\sqrt{61}},\qquad R=\frac{39\sqrt{61}}{13}=3\sqrt{61}$$Радиус окружности равен $3\sqrt{61}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что угол между пересекающимися хордами равен половине суммы дуг, а не одной дуги.
Используют формулу хорды без множителя $2R$.
Неверно раскрывают синус разности $\sin(60^\circ-x)$.
Оставляют ответ в виде отношения или численного приближения вместо точного значения.