Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y = \dfrac{(0{,}75x^2 + 1{,}5x)\cdot |x|}{x+2}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
6 шаговОбласть определения исходной функции определяется условием $x+2\ne 0$, поэтому $x\ne -2$.
$$D(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty)$$Разложим числитель на множители:
$$0{,}75x^2+1{,}5x=0{,}75x(x+2)$$При $x\ne -2$ сокращаем множитель $x+2$:
$$y=\dfrac{0{,}75x(x+2)|x|}{x+2}=0{,}75x|x|$$Раскроем модуль. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\ge 0$ имеем $|x|=x$:
$$y=\begin{cases}-0{,}75x^2, & x<0,\ 0{,}75x^2, & x\ge 0.\end{cases}$$График состоит из левой ветви параболы $y=-0{,}75x^2$ и правой ветви параболы $y=0{,}75x^2$. Однако точка с абсциссой $x=-2$ не входит в область определения. Ей соответствует значение $y=-0{,}75\cdot(-2)^2=-3$, поэтому точка $(-2;-3)$ выколота.
$$(-2;-3)\text{ — выколотая точка}$$Прямая $y=m$ имеет общие точки с графиком тогда и только тогда, когда значение $m$ принадлежит множеству значений функции. Все действительные значения достигаются, кроме $-3$.
$$E(f)=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$$Прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки при $m=-3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne -2$ после сокращения дроби.
Изобразить точку $(-2;-3)$ как принадлежащую графику.
Указать весь отрицательный промежуток значений как недостижимый, не учитывая левую ветвь параболы.