Ответ: Радиус окружности и касательная
Радиус окружности равен $8$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $12$ и $21$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$.
Где здесь ошибаются
Использовать значение $\cos\angle BAC=\dfrac{7}{4}$ вместо правильного значения $\dfrac{\sqrt7}{4}$.
Не проверять, лежит ли точка касания именно на луче $AB$, а не на противоположном луче.
Ошибиться при нахождении координат центра окружности: его абсцисса равна середине отрезка $MN$, то есть $\dfrac{33}{2}$.