Решение: Радиус окружности в трапеции
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $34$ и $2$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB = 24$.
Решение по шагам
7 шаговРасположим трапецию так, чтобы $AD$ было горизонтальным. Пусть $x$ — горизонтальная проекция стороны $AB$, а $h$ — высота трапеции. Тогда горизонтальная проекция стороны $CD$ равна $34-2-x=32-x$.
$$AB^2=x^2+h^2=24^2$$Пусть углы при основании $AD$ равны $\alpha$ и $\beta$. По условию $\alpha+\beta=90^\circ$, поэтому $\tan\alpha\tan\beta=1$.
$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{32-x}=1$$Следовательно, $h^2=x(32-x)$. Подставляя это в выражение для $AB$, получаем значение горизонтальной проекции стороны $AB$.
$$24^2=x^2+x(32-x)=32x,\qquad x=18$$Находим высоту трапеции.
$$h^2=18\cdot14=252,\qquad h=6\sqrt{7}$$Введём координаты: $A(0,0)$, $B(18,6\sqrt7)$, $C(20,6\sqrt7)$, $D(34,0)$. Середина отрезка $AB$ имеет координаты $M(9,3\sqrt7)$. Серединный перпендикуляр к $AB$ проходит через $M$.
$$CD=\sqrt{(34-20)^2+(6\sqrt7)^2}=\sqrt{448}=8\sqrt7$$Серединный перпендикуляр к $AB$ параллелен прямой $CD$. Поэтому расстояние от любого центра окружности, лежащего на этом перпендикуляре, до прямой $CD$ одинаково и равно расстоянию от точки $M$ до $CD$.
$$d(M,CD)=\frac{18\cdot 6\sqrt7}{8\sqrt7}=\frac{27}{2}$$Так как окружность проходит через $A$ и $B$, её радиус не меньше расстояния от центра до середины хорды $AB$, то есть не меньше $12$. Центр можно выбрать на серединном перпендикуляре так, чтобы расстояние до $CD$ совпало с радиусом. При этом радиус равен найденному расстоянию до касательной.
$$R=d(O,CD)=\frac{27}{2}$$Радиус окружности равен $\dfrac{27}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать горизонтальную проекцию стороны $CD$ равной $32+x$ вместо $32-x$.
Не использовать условие о сумме углов при основании $AD$.
Приравнивать радиус расстоянию от середины $AB$ до прямой $CD$ без обоснования положения центра на серединном перпендикуляре к $AB$.