Решение: Пересечение диагоналей трапеции
Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 18$, $DC = 54$, $AC = 48$.
Решение по шагам
5 шаговРассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Угол $AMB$ равен углу $CMD$ как вертикальные углы. Углы $MAB$ и $MCD$ равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$.
$$\angle AMB = \angle CMD,\quad \angle MAB = \angle MCD$$Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам.
$$\triangle AMB \sim \triangle CMD$$Из подобия треугольников получаем отношение соответствующих сторон:
$$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{DC} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$$Пусть $MC = x$. Тогда $AM = \frac{x}{3}$. Так как $AC = AM + MC = 48$, составим уравнение:
$$\frac{x}{3} + x = 48$$Решим уравнение и найдём длину отрезка $MC$:
$$\frac{4x}{3} = 48,\quad x = 36$$MC = 36
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно сопоставляют стороны подобных треугольников.
Используют отношение $DC/AB$ вместо $AB/DC$.
Забывают, что $AC = AM + MC$.